Nombres complexes
COURS
1
x
y
O
I
A
B
Doc. 9
M appartient au petita rc de cercle AB
inclus dans
le disque ouvert de centre I de rayon 1(Doc. 9).
On en déduit arg z ∈
2π
3
,
4π
3
[2π],
d’où arg z
2
∈
4π
3
,
8π
3
[2π].
Le point M
appartient au grand arc de cercle AB
.
La distance IM
restedonc strictement supérieure à
1: |1+z
2
|>1.
3) On pose u =
z 1
z 2
, on adonc |u| = 1. En appliquantà u le résultat de la question 2),onsait que :
|1+u|1o u| 1+u
2
|1
c’est-à-dire :
1+
z 1
z 2
1o u
1+
z
2
1
z 2
2
1
d’où :
|z 2 + z 1 | |z 2 | 1o u| z
2
2 + z
2
1 | | z
2
2 | 1
5 . 3 • Réduction de a cos x + b sin x où (a, b, x) ∈ R
3
Posons : z = a + ib.
z e
ix
= (a − ib)(cos x + i sin x)
= a cos x + b sin x + i(a sin x − b cos x)
donc :
a cos x + b sin x = Re (z e
ix
)
Écrivons z sous forme trigonométrique :
z
= r e
iϕ
z e
ix
= re
i(x−ϕ)
d’où :
a cos x + b sin x = r cos(x − ϕ)o ù r e
i ϕ
= a + ib
Exemple :
Résolvonsl’équation :c os x +
√
3sin x =
√ 2.
Ici: z=1+i
√
3=2e
i
π
3 .
Donc :c os x +
√ 3sin x = 2cos(x −
π
3
).
L’équation devient: cos(x −
π
3
) =
√
2
2
= cos
π
4
.
D’où :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x −
π
3
=
π
4
+2kπ
ou
x −
π
3
= −
π
4
+2kπ
avec k ∈ Z
S = {
π
12
+2kπ,
7π
12
+2kπ, k∈Z}
Pour s’entraîner :ex. 9et10
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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