COURS 1
Nombres complexes
5 Forme trigonométrique
d’un nombre complexe non nul
5.1 • Forme trigonométriqued’un nombre complexe
nonn ul
Soit z ∈ C
∗
;l ecomplexe
z
|z|
appartient à U . Il existe donc
θ ∈ R telque
z
|z|
= e
iθ
, c’est-à-dire :
z = |z|e
iθ
Cette écriture est appelée forme trigonométrique de z ;l eréel
θ est un argument de z noté arg(z).
L’ensemble des arguments de z est {θ +2kπ, k∈Z}.
5.2• Propriétés des arguments
u
x
y
O
M(z)
arg z
Doc.7 Argument d’un nombre
complexe.
Dans le plan complexeo rienté, un argument de z est une mesure de l’angle
orienté ( u,
−−→
OM ), où M estl’image de z (Doc. 7).
On déduit de
∀(θ, θ
) ∈ R
2
e
iθ
e
iθ
= e
i(θ+θ
)
:
∀(z, z
) ∈ C
2
arg(zz
) = arg(z)+arg(z
)[ 2 π ]
∀ ( z , z
) ∈ C × C
∗
arg(
z
z ) = arg(z) − arg(z
)[ 2 π ]
∀ z ∈ C∀ n ∈ Zarg(z
n
) = n arg(z)[ 2 π ]
APPLICATION 1
Distancesetangles dansleplancomplexe
1) Soit zu ncomplexe tel que |1+z|<
1
2
. Montrer
que |1+z
2
|>1.
2) Soit zu nc omplexe de module 1 tel que
|1+z|<1.Montrerque |1+z
2
|>1.
3) Soit z 1 et z 2 deux complexesd em ême module
supérieur à 1. Montrer que |z 1 + z 2 | 1 ou
|z
2
1 + z
2
2 | 1 .
1) Soit I le pointd’affixe −1, M et M
les points
d’affixes respectives z et z
2
. M appartient au disque
ouvert de centre I de rayon
1
2
. Soit K et K
les
points de contact des tangentes issues de O au cercle
de centre I de rayon
1
2
(Doc. 8).
Le triangle (OIK )e st un demi-triangle équilatéral,
donc
IOK =
π
6
.
x
y
π
3
π
6
I
O
K'
K
Doc. 8
On en déduit quea rg z ∈
5 π
6
,
7 π
6
[2 π], d’où
arg z
2
∈
5π
3
,
7π
3
[2π]. Le point M
appartient
donc àu ns ecteur angulaire inclus dans le demi-plan
x > 0. La distance IM
reste donc strictement supérieure à1: |1+z
2
|>1.
2) Ici, les points M et M
appartiennent au cercle
de centre O de rayon 1.
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