Nombres complexes
COURS
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Exemple :Calcul de cos 5x et sin5x.
e
5ix
= (cos x + i sin x)
5
= cos
5
x +5icos
4
x sin x − 10 cos
3
x sin
2
x
− 10i cos
2
x sin
3
x +5cos x sin
4
x + i sin
5
x
D’où:
cos 5x = cos
5
x − 10 cos
3
x sin
2
x +5cos x sin
4
x
sin 5x = 5cos
4
x sin x − 10 cos
2
x sin
3
x +sin
5
x
Remarque :Pour tout n ∈ N, cos nx est un polynôme en cos x.
Si ne st impair, sin nx estunpolynôme en sin x, si ne st pair, sin nx est le produit
de cos xp ar un polynôme en sin x.
Exemple :
cos 5x = cos
5
x − 10 cos
3
x(1 − cos
2
x)+5cos x(1 − cos
2
x)
2
sin 5x = 5(1 − sin
2
x)
4
sin x − 10(1 − sin
2
x)sin
3
x +sin
5
x
cos2x = 2cos
2
x − 1
sin 2x = 2sin x cos x
4.4 • Calcul de
n
k =0
cos(a + kb)e tde
n
k= 0
sin(a + kb)
Ce sont la partie réelle et la partie imaginaire de la somme complexe :
S =
n
k=0
e
i(a+kb)
On reconnaît la somme de (n +1)t ermes d’une suite géométrique de premier
terme e
ia
et de raison e
ib
.
• Si b ∈ 2πZ ,e
ib
= 1e tS=( n+1)e
ia
;
• si b /
∈ 2πZ , S = e
ia 1 − e
i(n+1)b
1 − e ib .
Dans ce cas, mettons e
i(
n+1
2 )b
en facteura un umérateur et e
i
b
2
en facteura u
dénominateur :
S = e
ia e
i(
n+1
2 )b
(e
−i(
n+1
2 )b
− e
i(
n+1
2 )b
)
e i
b
2 (e −i
b
2 − e i
b
2 )
= e
i(a+
nb
2 ) sin
(n+1)b
2
sin
b
2
D’où:
n
k = 0
cos(a + kb) = cos
a +
nb
2
sin
(n+1)b
2
sin
b
2
et :
n
k=0
sin(a + kb) = sin
a +
nb
2
sin
(n+1)b
2
sin
b
2
Pour s’entraîner :ex. 8
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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