COURS 1
Nombres complexes
4 Applications àlatrigonométrie
4.1 • Linéarisationetfactorisation d’expressions
trigonométriques
Un polynôme trigonométrique estune combinaison linéaire d’expressions de la
formec os
m
x sin
n
x, où (m, n) ∈ N
2
.
Lesformules d’Euler permettent de le transformer en un polynôme des variables
e
ix
et e
−ix
. Après développement, en regroupantles termes conjugués, on obtient
unecombinaison linaire de cos px et sin qx.
Exemple :Linéariser cos x sin
2
x.
cos x sin
2
x =
e
ix
+e
− ix
2
e
ix
− e
−ix
2i
2
= −
1
8
(e
ix
+e
− ix
)(e
2ix
− 2+e
− 2 ix
)
= −
1
8
(e
3ix
− e
ix
− e
−ix
+e
− 3 ix
)
= −
1
4
(cos 3x − cos x)
4.2 • Transformationsdeproduits en sommes
et vice versa
Des formulesd’addition on peut déduire les formules suivantes :
• cos a cos b =
1
2
(cos(a + b)+cos(a − b))
• sin a sin b = −
1
2
(cos(a + b) − cos(a − b))
• sin a cos b =
1
2
(sin(a + b)+sin(a − b))
En posant a + b = p, a − b = q, on obtientles formules inverses :
• cos p +cos q = 2cos
p + q
2
cos
p − q
2
• cos p − cos q = −2sin
p + q
2
sin
p − q
2
• sin p +sin q = 2sin
p + q
2
cos
p − q
2
• sin p − sin q = 2cos
p + q
2
sin
p − q
2
4.3 • Calcul de cos nx et sin nx en fonction
de cos x et sin x
D’après la formule de Moivre, nous avons, pour tout n ∈ N :
cos nx + i sin nx = (cos x + i sin x)
n
En développant le premier membre de cette égalitépar la formule du binôme, et
en séparant partie réelle et partie imaginaire, on obtient cos nx et sin nx.
14