Nombres complexes
COURS
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Démonstration
∀(θ, θ
) ∈ R
2
e
iθ
e
iθ
= (cos θ + i sin θ)(cos θ
+ i sin θ
)
= cos θ cos θ
− sin θ sin θ
+ i(cos θ sin θ
+sin θ cos θ
)
= cos(θ + θ
)+isin(θ + θ
)
= e
i(θ+θ
)
De même :
∀(θ, θ
) ∈ R
2
e
iθ
e iθ = e
i(θ−θ
)
Parrécurrence : ∀n ∈ N (e
iθ
)
n
= e
inθ
et (e
iθ
)
−n
= e
−inθ
, d’où :
∀n ∈ Z (e
iθ
)
n
= e
inθ
c’est-à-dire :
(cos θ + i sin θ)
n
= cos nθ + i sin nθ
ATTENTION
La formuled eM oivre n’a de sens
quesi n est entier.Pour θ
∈ 2πZ,
l’égalité( e
2 i π )
θ / 2 π =e
i θ est un nonsens:elle conduirait àe
i θ =1 .
C’est la formule de Moivre.
3.5 • Exponentiellecomplexe
Plus généralement,o np eut étendre à C la fonction exponentielle:on appelle
exponentiellec omplexe l’application définie sur C àv aleurs dans C qui à
z = x + iy, avec (x, y) ∈ R
2
, associe :
e
z
= e
x
e
iy
= e
x
(cos y + i sin y)
On remarque que le module de e
z
est e
x
:
∀z ∈ C |e
z
| = e
Re (z)
.
Théorème 5
∀(z, z
) ∈ C
2
e
z+z
= e
z
e
z
Démonstration
Si z = x + iy et z
= x
+ iy
:
e
z+z
= e
x+x
e
i(y+y
)
= e
x
e
x
e
iy
e
iy
= e
z
e
z
On montre de même que :
∀(z, z
) ∈ C
2
e
z−z
=
e
z
e z
et :
∀z ∈ C ∀n ∈ Z (e
z
)
n
= e
nz
Attention : Toutc omplexe non nul peut s’écrire e
z
, mais un tel z n’est pas
unique :iln’existe pas d’application réciproque de z
→ e
z
définie sur C
∗
:
e
z
= ρe
iα
⇐⇒ z = ln ρ + iα +2ikπ k ∈ Z
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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