COURS 1
Nombres complexes
3.2 • Définition de e
iθ
Théorème 3
Un complexe z est élément de U si et seulement s’il peut s’écrire :
z = cos θ + i sin θ, θ ∈ R
Attention, cette écriture n’est pas unique.
Démonstration
Pour tout réel θ, | cos θ+i sin θ| =
√ cos 2 θ +sin 2 θ = 1: cos θ+i sin θ ∈ U .
Réciproquement,soit z = x + iy un élémentde U.
Comme x
2
+ y
2
= 1, il existe θ ∈ R tel que x = cos θ et y = sin θ, on peut
doncécrire z = cos θ + i sin θ.
Attention, θ n’est pas unique :c os θ + i sin θ = cos θ
+ i sin θ
équivaut à
cos θ = cos θ
et sin θ = sin θ
, c’est-à-direà θ−θ
∈2πZ.
x
e
i
1
−1
i
−i
y
Doc. 6 Représentation d’un nombre
complexe de module 1
Désignons par ϕ la fonction de R dans C définie par ϕ(θ) = cos θ + i sin θ.
Les fonctions cos et sin sontdérivables, ce qui entraîne que ϕ l’estaussi et :
∀θ ∈ R ϕ
(θ) = (cos θ + i sin θ)
= − sin θ + i cos θ = i(cos θ + i sin θ)
soit :
∀θ ∈ R ϕ
(θ) = iϕ(θ)
Par analogieavec les fonctions réelles d’une variable réelle t
→ e
λt
, on note, pour
tout θ ∈ R, ϕ(θ) = e
iθ
, soit (Doc. 6) :
cos θ + i sin θ = e
iθ
Ainsi :
|u| = 1 ⇐⇒ ∃ θ ∈ R u = e
i θ
3 . 3 • Formules d’Euler
Pour tout θ ∈ R, cos θ et sin θ sont respectivement la partie réelle et la partie
imaginaire de e
iθ
, d’où :
∀θ ∈ R cos θ =
e
iθ
+e
− iθ
2
et sin θ =
e
iθ
− e
−iθ
2i
3.4 • Propriété de l’application θ → e
iθ
RAPPEL :FORMULES D’ADDITION
• cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
• cos(a − b) = cos a cos b +sin a sin b
• sin(a + b) = sin a cos b +cos a sin b
• sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
Théorème 4
∀(θ, θ
) ∈ R
2
e
iθ
e
iθ
= e
i(θ+θ
)
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