Nombres complexes
COURS
1
Démonstration
Les deux membres de l’inégalitéàd émontrer étant des réels positifs, comparons
leurs carrés.
⎧
⎨
⎩
|z + z
|
2
= (z + z
)(z + z ) = z z + z z + z
z + z
z = |z|
2
+2Re (z z )+|z
|
2
(|z|+|z
|)
2
= |z|
2
+2|z||z
| + |z
|
2
= |z|
2
+2|zz |+|z
|
2
Or Re (z z ) |z z |. D’où l’inégalité demandée.L ’égalité estv érifiée si et
seulement si Re (z z ) = |z z |, c’est-à-dire z z ∈ R + . Cettec ondition est
satisfaite si z
= 0, ou (en divisant par z
z )s i
z
z ∈R + .
x
y
O
M ( z )
⏐ z ⏐
Doc. 3 Module d’un nombre
complexe.
Dans le plan complexe, le module de z représente la distance de l’origineaupoint
M d’affixe z (Doc. 3).
Le réel |z − z
| représente la distance entre les points M et M
d’affixes z et
z
.
x
z’
z
z’’
y
O
⏐z – z’⏐
⏐z – z’’⏐
⏐z’ – z’’⏐
Doc. 4 Inegalité triangulaire.
Commedans le cas réel, on déduit de l’inégalité triangulaire que :
∀(z, z
) ∈ C
2
|z|−|z
|
|z−z
||z|+|z
|
et :
∀(z, z
, z
) ∈ C
3
|z − z
| |z − z
| + |z
− z
|
(Cette dernière inégalité représente l’inégalité triangulaire dans le plan complexe
(Doc. 4).)
La notion de distance nous permet de définir dans le plan complexe :
• le disque fermé de centre a et de rayon R : {M ∈ P, |z − a| R} où
R ∈ R + ;
• le disque ouvert de centre a et de rayon R : {M ∈ P, |z − a| < R} où
R ∈ R
∗
+ ;
• le cercle de centre a et de rayon R : {M ∈ P, |z − a| = R} où R ∈ R
∗
+ .
Pours’entraîner :ex. 2à7
3 Représentation des nombres
complexes de module 1
3.1 • Groupe U des nombrescomplexes de module 1
L’ensemble U desnombres complexes de module 1, muni du produit défini sur
C est un groupe, on dit que c’est un sous-groupe de (C
∗
, ×)( voir chapitre 10) :
• ∀(z, z
) ∈ U
2
|zz
| = |z|.|z
| = 1, la loimultiplicative est bien une loi de
composition interne sur U .
• Elle est associative sur C, donc en particulier sur U .
• Ellepossède un élément neutre :leréel 1, qui appartient à U .
• Enfin, tout élément z de U est nonn ul, donc possède un inverse dans
C
∗
: z
=
1
z
telque |z
| =
1
|z|
= 1, ce quiprouve que z
∈ U .
x
z
1
−1
i
−i
y
Doc. 5 Cercle trigonométrique.
|z| = 1 ⇐⇒ OM = 1:l’ensemble des points M du pland ’affixe z ∈ U
estlecercle de centre O de rayon1,appelé cercle trigonométrique (Doc. 5).
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