COURS 1
Nombres complexes
1.4 • Interprétation géométrique
x
x’
y
y’
u
O
y
x
Mz ()
Doc. 1 Image d’un nombre complexe.
On appelle plan complexe un plan P rapportéàun repère orthonormé (O,, u,, v).
On peut représenter le nombre complexe z = x + iy parl ep oint M de coordonnées (x, y)( Doc.1).
Le point M esta ppelé image de z, et réciproquement z est appelé affixe de
M .
Si M et M
sont deux points d’affixes z et z
, on appelle aussi affixe du vecteur
−− −→
MM
le complexe z
− z.
Les axes (O,, u)e t( O ,, v)s ont appelés respectivement axed es réels et axe des
imaginaires.
x
y
O
y
– y
x
M(z)
M’(z)
Doc. 2 Image du conjugué.
L’image de z est symétrique de l’image de z par rapport àl ’axe des réels, en
accord avec le caractère involutif de la conjugaison (Doc. 2).
2 Module d’un nombre complexe
2.1 • Module d’un nombre complexe
Soit z = x + iy ∈ C, où (x, y) ∈ R
2
:
zz = (x + iy)(x − iy) = x
2
+ y
2
: zz ∈ R +
On appelle module de z le réel positif : |z| =
√ zz .
Le module de z est noté abs(z).
Si z est réel, son module est aussi sa valeur absolue, c’est pourquoionemploie la même notation.
Maisattention !pour un réel x : |x|
2
= x
2
, tandis que pour un
complexe quelconque z, |z|
2
= zz .
Théorème 1
Pour tous complexes z et z
:
|zz
| = |z||z
|
Démonstration
∀(z, z
) ∈ C
2
|zz
|
2
= (zz
)(zz ) = (zz )(z
z ) = |z|
2
|z
|
2
On en déduit :
∀(z, z
) ∈ C×C
∗
z
z
=
|z|
|z |
∀z ∈ C
∗
∀n ∈ Z |z
n
| = |z|
n
2.2 • Inégalitétriangulaire
Théorème 2
Pour tous complexes z et z
:
|z + z
| |z| + |z
|
L’égalité estvérifiée si et seulement si z
= 0o u
z
z ∈R + .
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