Nombres complexes
COURS
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La loi × définiesur C possèdeles propriétés suivantes :
• elleest associative :
∀(z, z
, z
) ∈ C
3
(z×z
)×z
= z×(z
×z
)
• 1est élément neutre de C pour × :
∀z ∈ C z×1 = 1×z = z
• tout élément non nul de C possèdeunsymétrique pour × :
∀z ∈ C
∗
∃z
∈ C
∗
z×z
= z
×z = 1:
si z = x + iy, z
=
x − iy
x 2 + y 2 =
1
z
(C
∗
, ×)e st donc un groupe abélien,puisque × est commutative sur C.
Enfin, × est distributive par rapportà +:
∀ ( z , z
, z
) ∈ C
3
(z + z
)×z
= z×z
+ z
×z
Ces propriétés confèrent à( C , + , × )u ne structure de corps commutatif .
Ces notions seront étudiées de façon plus approfondie dans le chapitre 10
Structuresalgébriques usuelles.
1.3 • Conjugué d’unnombre complexe
Le conjugué de z est noté conj(z).
On appelle conjugué du nombre complexe z = x + iy où
(x, y) ∈ R
2
, le complexe :
z = x − iy
Cettea pplication est involutive : ∀z ∈ C (z ) = z, elle est
donc bijective.
De plus:
∀(z,z
)∈C
2
z+z =z+z , z·z =z·z
On en déduit :
∀(z, z
) ∈ C
2
z − z = z − z
et
∀(z, z
) ∈ C×C
∗
z
z
=
z
z
∀z ∈ C
∗
∀n ∈ Z nz = nz ; z n = z
n
Le conjugué permet d’exprimer facilement la partier éelle et la partie imaginaire
d’un complexe,etdonc de caractériser les réels et les imaginaires :
∀z ∈ C Re (z) =
z + z
2
;I m(z)=
z−z
2i
∀z∈C z∈R ⇐⇒ z = z ;
z ∈ i R ⇐⇒ z = − z
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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