COURS 1
Nombres complexes
1 Corps des complexes
1.1 • Définition desnombres complexes
On appelle ensemble des nombrescomplexes et on note C l’ensemble R
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que
l’on munit des lois de composition interne:
• addition :
∀(x, y) ∈ C ∀(x
, y
) ∈ C (x, y)+(x
,y
)=(x+x
,y+y
)
• multiplication :
∀(x, y) ∈ C ∀(x
, y
) ∈ C (x, y)×(x
, y
) = (xx
− yy
, xy
+ x
y)
On peut identifier le complexe (x, 0) au réel x, ce qui revient àc onsidérer R
comme unep artie de C ;n ous constatons que ces deux lois prolongent à C
l’addition et la multiplication définies sur R :
∀(x, x
) ∈ R
2
(x, 0) +(x
,0) = (x + x
, 0)
(x, 0)×(x
, 0) = (xx
, 0)
Le complexe (0, 1) est tel que (0, 1)
2
= (−1, 0), nous le notons i.
L’écriture du complexe z = (x, y)d evient alors :
z = x + iy, (x, y) ∈ R
2
où i
2
= −1
ATTENTION
La partie imaginaire
d’un complexe estunréel.
Pardéfinition, (x, y)e st l’unique couple de réels tel que z = x + iy :
x est appelé partie réelle de z, y est appelé partie imaginaire de z.
Notations x = Re (z) y = Im (z).
La TI-92/Voyage 200 sait bien sûr calculer avec les nombres
complexes.
Un complexe z est réel si et seulement si sa partie imaginaire
est nulle. Un complexe z est dit imaginaire si sa partie réelle
est nulle. L’ensemble des imaginaires est noté iR.
1.2 • Structure de corps de C
La loi+définie sur C possède les propriétés suivantes :
• elle est associative :
∀(z, z
, z
) ∈ C
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(z + z
)+z
= z +(z
+z
)
• 0est élément neutre de C pour +:
∀ z∈C z+0=0+z=z
• tout élément de C possèdeunsymétrique pour +:
∀ z∈C ∃ z
∈C z+z
=z
+z=0:
si z = x + iy, z
= −x + i(−y) = −z
Cespropriétésconfèrent à( C , +) une structure de groupe,deplus l’addition est
commutative sur C.
On dit alors que (C, +) est un groupeabélien.
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