Nombres complexes
EXERCICES
1
Équations
11 Résoudre de deux façons l’équation
(z +1)
5
=(z−1)
5
.
Comparer les résultats.
12 Factoriser dans C puisdans R les polynômessuivants :
z
3
− 1; z
3
+1; z
4
+z
2
+1; z
4
−z
2
+1 ; z
6
−1; z
6
+1.
13 Soit u = e
2iπ
5 . Calculer 1+u+u
2
+u
3
+u
4
. En
déduirelavaleur de cos
2π
5
.
Application :trouver une construction àlarègle et au compas d’un pentagone régulier.
14 On pose u = e
2iπ
7 , S = u + u
2
+ u
4
et
T = u
3
+ u
5
+ u
6
.
1) Montrer que S et T sont conjugués et que la partie
imaginairede S est positive.
2) Calculer S + T et ST . En déduire S et T .
15 Résoudre les équations suivantes dans C :
1) z
2
− 2iz − 1+2i=0
2) iz
2
+ iz +1+i=0
3) z
2
− 2
θ+1
cos θz +2
2 θ
=0
4) z
2
−
4
sin θ
z +
13
sin 2 θ
− 9 = 0 θ ∈ ]0, π[
5) 2z
2
(1 − cos 2θ) − 2z sin 2θ +1=0 θ∈]0, π[
6) z
2
− 2e
iθ
z +2isin θe
iθ
= 0( on écrira les racines sous
la formetrigonométrique)
7) z
3
− (2 + i)z
2
+2(1 + i)z − 2i = 0( racine évidente)
8) 4iz
3
+2(1+3i)z
2
−(5+4i)z+3(1−7i) = 0( chercher
uneracine réelle)
9) z
3
− (5 − 3i)z
2
+(6−11i)z +2+16i =0( chercher
une racine imaginaire)
16 Résoudre l’équation z
3
= 4
√ 2(1 + i).
17 Déterminer sous forme trigonométrique les racines cubiques du nombre complexe a = 16(1 − i). Pour tout réel
λ on pose z λ = 1+i+2
√ 2e
iλ
. Déterminer l’ensemble (C)
des points M λ d’affixes z λ quand λ décrit [0, 2π[.
Montrerque les solutions de l’équation (z − (1 + i))
3
= a
sont des affixes de points de (C).
18 Résoudre dans C l’équation :
(z
2
+1)
n
−(z−i)
2 n
=0( n ∈ N
∗
)
Applications des complexes
àlagéométrie
19 Àtout point M d’affixe z
= 1, on associe le point
M
d’affixe z
=
z − 1
1 − z
.
Établirque |z
| = 1;
z
−1
z−1
est réel ;
z
+1
z−1
est imaginairepur.
En déduire une constructiong éométrique du point M
connaissant le point M .
20 Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels
que les points I d’affixe i et M
d’affixe iz soient alignés
avec M . Déterminerl’ensemble des points M
.
21 Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels
que :
Re
z − 1
z − i
= 0
22 Soit A, B, C troisp oints distincts du plan complexe d’affixes a, b, c. Montrer que les trois propositions
suivantessont équivalentes :
1) ABC est un triangle équilatéral.
2) j ou j estsolution de l’équation az
2
+ bz + c = 0.
3) a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca.
23 Soit ABCD un carrédans le plan complexe. Montrer
que si A et B ont des coordonnées entières, il en estd e
même de C et D.
Peut-on trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets ont des coordonnées entières ?
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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EXERCICES
1
Équations
11 Résoudre de deux façons l’équation
(z +1)
5
=(z−1)
5
.
Comparer les résultats.
12 Factoriser dans C puisdans R les polynômessuivants :
z
3
− 1; z
3
+1; z
4
+z
2
+1; z
4
−z
2
+1 ; z
6
−1; z
6
+1.
13 Soit u = e
2iπ
5 . Calculer 1+u+u
2
+u
3
+u
4
. En
déduirelavaleur de cos
2π
5
.
Application :trouver une construction àlarègle et au compas d’un pentagone régulier.
14 On pose u = e
2iπ
7 , S = u + u
2
+ u
4
et
T = u
3
+ u
5
+ u
6
.
1) Montrer que S et T sont conjugués et que la partie
imaginairede S est positive.
2) Calculer S + T et ST . En déduire S et T .
15 Résoudre les équations suivantes dans C :
1) z
2
− 2iz − 1+2i=0
2) iz
2
+ iz +1+i=0
3) z
2
− 2
θ+1
cos θz +2
2 θ
=0
4) z
2
−
4
sin θ
z +
13
sin 2 θ
− 9 = 0 θ ∈ ]0, π[
5) 2z
2
(1 − cos 2θ) − 2z sin 2θ +1=0 θ∈]0, π[
6) z
2
− 2e
iθ
z +2isin θe
iθ
= 0( on écrira les racines sous
la formetrigonométrique)
7) z
3
− (2 + i)z
2
+2(1 + i)z − 2i = 0( racine évidente)
8) 4iz
3
+2(1+3i)z
2
−(5+4i)z+3(1−7i) = 0( chercher
uneracine réelle)
9) z
3
− (5 − 3i)z
2
+(6−11i)z +2+16i =0( chercher
une racine imaginaire)
16 Résoudre l’équation z
3
= 4
√ 2(1 + i).
17 Déterminer sous forme trigonométrique les racines cubiques du nombre complexe a = 16(1 − i). Pour tout réel
λ on pose z λ = 1+i+2
√ 2e
iλ
. Déterminer l’ensemble (C)
des points M λ d’affixes z λ quand λ décrit [0, 2π[.
Montrerque les solutions de l’équation (z − (1 + i))
3
= a
sont des affixes de points de (C).
18 Résoudre dans C l’équation :
(z
2
+1)
n
−(z−i)
2 n
=0( n ∈ N
∗
)
Applications des complexes
àlagéométrie
19 Àtout point M d’affixe z
= 1, on associe le point
M
d’affixe z
=
z − 1
1 − z
.
Établirque |z
| = 1;
z
−1
z−1
est réel ;
z
+1
z−1
est imaginairepur.
En déduire une constructiong éométrique du point M
connaissant le point M .
20 Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels
que les points I d’affixe i et M
d’affixe iz soient alignés
avec M . Déterminerl’ensemble des points M
.
21 Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels
que :
Re
z − 1
z − i
= 0
22 Soit A, B, C troisp oints distincts du plan complexe d’affixes a, b, c. Montrer que les trois propositions
suivantessont équivalentes :
1) ABC est un triangle équilatéral.
2) j ou j estsolution de l’équation az
2
+ bz + c = 0.
3) a
2
+ b
2
+ c
2
= ab + bc + ca.
23 Soit ABCD un carrédans le plan complexe. Montrer
que si A et B ont des coordonnées entières, il en estd e
même de C et D.
Peut-on trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets ont des coordonnées entières ?
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