Dérivation des fonctions d’une variable réelle
COURS
16
Démonstration
Si f estcroissante sur I :
∀x 0 ∈ I \{x 0 }∀ x ∈ I
f ( x ) − f ( x 0 )
x − x 0
0
O
y
y’
x
x’
Doc. 7 Fonction x →
1
x
D’où, en passantàla limitequand x tend vers x 0 , f
(x 0 ) 0.
Réciproquement, supposons f
positive sur I . D’aprèsl ’égalité des accroissementsfinis :
∀(x, y) ∈ I
2
x < y ⇒∃ c∈] x , y [
f ( x ) − f ( y )
x − y
=f
( c )d ’où
f (x) − f (y)
x − y
0
f est donc croissante.
La démonstrationest la même pour une fonction décroissante ou constante.
O
y
x
y
x
Doc. 8 Fonction x → x
3 .
• Cesrésultats ne sont valables que sur un intervalle :lafonction x →
1
x
(Doc. 7)
n’estpas décroissante sur R
∗
, bien que sa dérivée ysoit toujours négative... (R
∗
n’est pas un intervalle).
• Si f
est strictement positive sur un intervalle I , f est strictement croissante
sur I ;m ais la réciproque est fausse :lafonction x
→ x
3
(Doc. 8) est strictement
croissante sur R mais sa dérivée s’annule en 0.
Pour s’entraîner:ex. 8
4.5 • Prolongement d’une dérivée
IMPORTANT
Insistons surl ef ait que ce théorème
donneu ne condition de dérivabilité
en a qui est suffisante, maisnon nécessaire :une fonction peut être dérivable en a sans que f
admetteune
limite finie en a.
Exemple:
Soit f la fonction définiepar :
⎧
⎨
⎩
si x = 0, f (x) = x
2 sin
1
x
f (0) = 0
f (x) − f (0)
x
= x sin
1
x
, quit end
vers 0q uand x tend vers 0. Donc
f est dérivable en 0et f
(0) = 0.
Par ailleurs, ∀x ∈ R
∗ :
f
(x) = 2x sin
1
x
− cos
1
x
,
donc f
n’admetp as de limite en
0. Autrementd it, f
est définie en
0, maise lle n’est pasc ontinue en ce
point.
Enfin, le théorème des accroissements finis permet dansc ertains cas d’obtenir la
dérivée d’une fonction en un point particulier en prolongeant parc ontinuité la
dérivéecalculée sur un intervalle :
Théorème 5
Soit f une fonction de R dans R continue sur [a, b]e tdérivable sur ]a, b].
• Si f
admet une limite finie en a, alors f est dérivable en a et :
f
(a) = lim
x→a
f
(x)( f
est continue en a)
• Si f
tend vers ±∞ en a, alors
f (x) − f (a)
x − a
tendvers ±∞ en a et f
n’est pas dérivable en a.
Démonstration
Pour tout x ∈ ]a, b], la fonction f vérifiel’égalité des accroissements finis sur
[a, x]:
on peut choisir c x ∈ ]a, x[
f (x) − f (a)
x − a
= f
(c x ).
Si lim
a
f
= l ∈ R, alorsl im
x→a
f
(c x ) = l, d’où lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a
= l.
Si l estfini, on en déduit que f est dérivable en a et que f
(a) = l.
Si l est infini, f n’est pas dérivable en a, sa courbe représentative possèdeune
demi-tangenteparallèle àl’axe des ordonnées en ce point.
Pour s’entraîner :ex. 12
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
297
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Démonstration
Si f estcroissante sur I :
∀x 0 ∈ I \{x 0 }∀ x ∈ I
f ( x ) − f ( x 0 )
x − x 0
0
O
y
y’
x
x’
Doc. 7 Fonction x →
1
x
D’où, en passantàla limitequand x tend vers x 0 , f
(x 0 ) 0.
Réciproquement, supposons f
positive sur I . D’aprèsl ’égalité des accroissementsfinis :
∀(x, y) ∈ I
2
x < y ⇒∃ c∈] x , y [
f ( x ) − f ( y )
x − y
=f
( c )d ’où
f (x) − f (y)
x − y
0
f est donc croissante.
La démonstrationest la même pour une fonction décroissante ou constante.
O
y
x
y
x
Doc. 8 Fonction x → x
3 .
• Cesrésultats ne sont valables que sur un intervalle :lafonction x →
1
x
(Doc. 7)
n’estpas décroissante sur R
∗
, bien que sa dérivée ysoit toujours négative... (R
∗
n’est pas un intervalle).
• Si f
est strictement positive sur un intervalle I , f est strictement croissante
sur I ;m ais la réciproque est fausse :lafonction x
→ x
3
(Doc. 8) est strictement
croissante sur R mais sa dérivée s’annule en 0.
Pour s’entraîner:ex. 8
4.5 • Prolongement d’une dérivée
IMPORTANT
Insistons surl ef ait que ce théorème
donneu ne condition de dérivabilité
en a qui est suffisante, maisnon nécessaire :une fonction peut être dérivable en a sans que f
admetteune
limite finie en a.
Exemple:
Soit f la fonction définiepar :
⎧
⎨
⎩
si x = 0, f (x) = x
2 sin
1
x
f (0) = 0
f (x) − f (0)
x
= x sin
1
x
, quit end
vers 0q uand x tend vers 0. Donc
f est dérivable en 0et f
(0) = 0.
Par ailleurs, ∀x ∈ R
∗ :
f
(x) = 2x sin
1
x
− cos
1
x
,
donc f
n’admetp as de limite en
0. Autrementd it, f
est définie en
0, maise lle n’est pasc ontinue en ce
point.
Enfin, le théorème des accroissements finis permet dansc ertains cas d’obtenir la
dérivée d’une fonction en un point particulier en prolongeant parc ontinuité la
dérivéecalculée sur un intervalle :
Théorème 5
Soit f une fonction de R dans R continue sur [a, b]e tdérivable sur ]a, b].
• Si f
admet une limite finie en a, alors f est dérivable en a et :
f
(a) = lim
x→a
f
(x)( f
est continue en a)
• Si f
tend vers ±∞ en a, alors
f (x) − f (a)
x − a
tendvers ±∞ en a et f
n’est pas dérivable en a.
Démonstration
Pour tout x ∈ ]a, b], la fonction f vérifiel’égalité des accroissements finis sur
[a, x]:
on peut choisir c x ∈ ]a, x[
f (x) − f (a)
x − a
= f
(c x ).
Si lim
a
f
= l ∈ R, alorsl im
x→a
f
(c x ) = l, d’où lim
x→a
f (x) − f (a)
x − a
= l.
Si l estfini, on en déduit que f est dérivable en a et que f
(a) = l.
Si l est infini, f n’est pas dérivable en a, sa courbe représentative possèdeune
demi-tangenteparallèle àl’axe des ordonnées en ce point.
Pour s’entraîner :ex. 12
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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