COURS 16
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Démonstration
Considéronsl af onction g définie par g(x) = f (x) −
f (b) − f (a)
b − a
x. g est
continue sur [a, b]e tdérivable sur ]a, b[. D’autre part :
g(a) = f (a) −
f (b) − f (a)
b − a
a =
bf (a) − af (b)
b − a
g(b) = f (b) −
f (b) − f (a)
b − a
b =
bf (a) − af (b)
b − a
= g(a)
On peut donc appliquerlethéorème de Rolle àlafonction g :
∃c ∈ ]a, b[ g
(c) = 0
C’est-à-dire f
(c) −
f (b) − f (a)
b − a
= 0.
a
c
b
O
y
x
Doc. 6 Égalitédes accroissements
finis.
Graphiquement, ce théorèmesignifie que tout arc de la courbe représentative d’une
fonction dérivable possède au moins une tangente parallèle àlacorde joignant les
extrémitésdecet arc (Doc. 6). Du point de vuecinématique, un mobile se déplaçant
sur un axe pendant un intervalle de temps possède au moins une fois une vitesse
instantanée égale àsavitesse moyenne sur cet intervalle.
Le plus souvent, dans la pratique, on ne sait rien d’un élément c qui réalise
l’égalité des accroissementsf inis. Mais de sa simple existence, on peut déduire le
corollaire suivant, extrêmement utile dans les applications, et qui al’avantage de
rester valablepour des fonctions àvaleurs complexes ou vectorielles (voir §6.2).
Corollaire 4.1(inégalité des accroissements finis)
Soit f une fonction de R dans R,continue sur un segment [a, b]e tdérivable
sur ]a, b[( avec a < b).
1) Si ∀x ∈ ]a, b[ m f
(x) M ,
alors m(b − a) f (b) − f (a) M (b − a)
2) Si ∀x ∈ ]a, b[ |f
(x)| k,
alors f est k -lipschitziennesur [a, b]
Démonstration
1) Il existe c ∈ ]a, b[t el que
f (b) − f (a)
b − a
= f
(c), d’où m
f (b) − f (a)
b − a
M.
2) Pour tout couple (x, y) ∈ [a, b]
2
, on peut appliquerlerésultat précédent. On
en déduit |f (x) − f (y)| k |x − y|.
Pour s’entraîner :ex. 9à11
4.4 • Dérivées et sens de variation
Les résultats précédentspermettent d’établir le lien entre le signe de la dérivée et
le sens de variationdelafonction.
Corollaire 4.2
Soit f une fonction de R dans R dérivablesur un intervalle I contenant au
moinsdeux points.
f est croissantesur I si et seulement si f
est positive sur I .
f est décroissante sur I si et seulement si f
est négative sur I .
f est constantesur I si et seulementsi f
est nulle sur I .
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Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Démonstration
Considéronsl af onction g définie par g(x) = f (x) −
f (b) − f (a)
b − a
x. g est
continue sur [a, b]e tdérivable sur ]a, b[. D’autre part :
g(a) = f (a) −
f (b) − f (a)
b − a
a =
bf (a) − af (b)
b − a
g(b) = f (b) −
f (b) − f (a)
b − a
b =
bf (a) − af (b)
b − a
= g(a)
On peut donc appliquerlethéorème de Rolle àlafonction g :
∃c ∈ ]a, b[ g
(c) = 0
C’est-à-dire f
(c) −
f (b) − f (a)
b − a
= 0.
a
c
b
O
y
x
Doc. 6 Égalitédes accroissements
finis.
Graphiquement, ce théorèmesignifie que tout arc de la courbe représentative d’une
fonction dérivable possède au moins une tangente parallèle àlacorde joignant les
extrémitésdecet arc (Doc. 6). Du point de vuecinématique, un mobile se déplaçant
sur un axe pendant un intervalle de temps possède au moins une fois une vitesse
instantanée égale àsavitesse moyenne sur cet intervalle.
Le plus souvent, dans la pratique, on ne sait rien d’un élément c qui réalise
l’égalité des accroissementsf inis. Mais de sa simple existence, on peut déduire le
corollaire suivant, extrêmement utile dans les applications, et qui al’avantage de
rester valablepour des fonctions àvaleurs complexes ou vectorielles (voir §6.2).
Corollaire 4.1(inégalité des accroissements finis)
Soit f une fonction de R dans R,continue sur un segment [a, b]e tdérivable
sur ]a, b[( avec a < b).
1) Si ∀x ∈ ]a, b[ m f
(x) M ,
alors m(b − a) f (b) − f (a) M (b − a)
2) Si ∀x ∈ ]a, b[ |f
(x)| k,
alors f est k -lipschitziennesur [a, b]
Démonstration
1) Il existe c ∈ ]a, b[t el que
f (b) − f (a)
b − a
= f
(c), d’où m
f (b) − f (a)
b − a
M.
2) Pour tout couple (x, y) ∈ [a, b]
2
, on peut appliquerlerésultat précédent. On
en déduit |f (x) − f (y)| k |x − y|.
Pour s’entraîner :ex. 9à11
4.4 • Dérivées et sens de variation
Les résultats précédentspermettent d’établir le lien entre le signe de la dérivée et
le sens de variationdelafonction.
Corollaire 4.2
Soit f une fonction de R dans R dérivablesur un intervalle I contenant au
moinsdeux points.
f est croissantesur I si et seulement si f
est positive sur I .
f est décroissante sur I si et seulement si f
est négative sur I .
f est constantesur I si et seulementsi f
est nulle sur I .
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