Dérivation des fonctions d’une variable réelle
COURS
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y
x
ac
b
O
M
f ( a ) = f(b)
Doc. 5 Théorème de Rolle.
Graphiquement, le théorème de Rolle signifie que la courbe représentative d’une
fonction dérivable, qui passep ar deux points de même ordonnée, possède au
moins une tangente horizontale entre ces deux points (Doc. 5). Du point de vue
cinématique, un mobile sur un axe qui repassed eux fois au même point voit
nécessairement sa vitesse s’annulerentre ces deux points.
APPLICATION 3
Unepropriété des polynômes réels
Soit Pu npolynôme de degré n (n 2) àcoefficients
réels. Montrer que, si Pe st scindé, son polynôme dérivé
P
est aussi scindé.
Posons P = λ
p
i=1
(X − a i )
mi
, où λ ∈ R
∗
et les a i
sont les racines réelles distinctes de P, que l’on peut
ranger dansl ’ordre croissant : a 1 < a 2 < ··· < a p .
L’entier m i estl’ordre de multiplicité de la racine a i .
P est scindé si et seulement si
p
i=1
m i = n.
Si m i 2, a i est une racine d’ordre m i − 1d u
polynôme P
. Parc onséquent, P
est divisible par
le polynôme Q =
p
i=1
(X − a i )
mi−1
(les facteurs où
m i = 1n esont pas gênants puisqu’ils valent 1).
Par ailleurs, pour tout i ∈ [[ 1 , p − 1]],la fonction polynomiale P est continueetdérivable sur [a i , a i+1 ]e t
P ( a i )=P ( a i +1 ) = 0.
D’aprèsl et héorème de Rolle, il existe
c i ∈ ]a i , a i+1 [ P
(c i ) = 0. P
est divisible par
R =
p−1
i=1
(X − c i ).
P
est divisible par les polynômes Q et R qui sont
scindés et n’ontp as de racine commune, il estd onc
divisible par leur produit. Or :
deg(QR) =
p
i=1
(m i − 1) + p − 1
= (n − p)+(p−1) = n − 1 = deg(P
)
Donc P
= αQR, où α ∈ R
∗
. Comme QR est
scindé,ilenest de même de P
.
4.3 • Théorème des accroissements finis
Un simple changement de repère permetdegénéraliser le théorème de Rolle :
Théorème 4(égalité des accroissements finis)
Soit f une fonctiondeRdans R,continue sur un segment [a, b]e tdérivable
sur ]a, b[( avec a < b).
∃c ∈ ]a, b[
f (b) − f (a)
b − a
= f
(c)
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