COURS 16
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
APPLICATION 2
Pourquelques frites de plus...
Dans un disque de papier de rayonR ,on découpe un
secteurangulaire d’angle xr adians (x ∈ [0, 2π]), avec
lequel on confectionne un cornet de frites conique. Déterminer xp our quelevolume du cornet soit maximal.
Le rayon r de la section du cône esttel que :
2πr = Rx ;d ’où r =
Rx
2π
La hauteur h du cône est telle que (Doc. 4) :
h
2
+ r
2
= R
2
;d ’où h =
R
2π
4π 2 − x 2
Le volume du cône estdonc :
V (x) =
1
3
πr
2
h =
R
3
24π 2 x
2
4π 2 − x 2
x
R
R
r
h
Doc. 4
La fonction V est continue sur [0, 2π].
Elle admet donc sur ce segmentunmaximum, qui est
strictement positif (car V (π) > 0).
La fonction V est dérivable sur [0, 2π[, et :
V
(x) =
R
3
24π 2
2x
4π 2 − x 2 + x
2
−2x
2
√ 4π 2 − x 2
C’est-à-dire :
V
(x) =
R
3
24π 2
x(8π
2
− 3x
2
)
√
4π 2 − x 2
Cette dérivée s’annule pour x = 0e tx=
2
√ 2 π
√
3
.
Comme V (0) = V (2π) = 0, le maximum de la
fonction V sur [0, 2π]n ep eut être atteint qu’en
x =
2
√
2π
√ 3
. La valeur de ce maximum est:
V
2
√ 2π
√ 3
=
2π
√ 3R
3
27
.
4.2 • Théorème de Rolle
Théorème 3(théorème de Rolle)
Soit f une fonction de R dans R ,continue sur un segment [a, b]e tdérivable
sur ]a, b[( avec a < b).
Si f (a) = f (b), la dérivéede f s’annule sur ]a, b[.
∃c ∈ ]a, b[ f
(c) = 0
Démonstration
f étantcontinue, l’image du segment [a, b]e st un segment [m, M ]. Les bornes
m et M sont atteintes. Montrons que l’une au moins d’entre elles estunextremum
local.
• Si m = M , f est constante et f
est nulle sur ]a, b[.
• Si m < M , l’une au moins de ces deux bornes estd ifférente de f (a)( et
donc de f (b)). Elleest, par conséquent, atteinte en un point c ∈ ]a, b[. Il existe
α > 0t el que ]c −α, c +α[⊂]a, b[: f présente un extremum local en c. D’après
le théorème précédent, f
(c) = 0.
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Dérivation des fonctions d’une variable réelle
APPLICATION 2
Pourquelques frites de plus...
Dans un disque de papier de rayonR ,on découpe un
secteurangulaire d’angle xr adians (x ∈ [0, 2π]), avec
lequel on confectionne un cornet de frites conique. Déterminer xp our quelevolume du cornet soit maximal.
Le rayon r de la section du cône esttel que :
2πr = Rx ;d ’où r =
Rx
2π
La hauteur h du cône est telle que (Doc. 4) :
h
2
+ r
2
= R
2
;d ’où h =
R
2π
4π 2 − x 2
Le volume du cône estdonc :
V (x) =
1
3
πr
2
h =
R
3
24π 2 x
2
4π 2 − x 2
x
R
R
r
h
Doc. 4
La fonction V est continue sur [0, 2π].
Elle admet donc sur ce segmentunmaximum, qui est
strictement positif (car V (π) > 0).
La fonction V est dérivable sur [0, 2π[, et :
V
(x) =
R
3
24π 2
2x
4π 2 − x 2 + x
2
−2x
2
√ 4π 2 − x 2
C’est-à-dire :
V
(x) =
R
3
24π 2
x(8π
2
− 3x
2
)
√
4π 2 − x 2
Cette dérivée s’annule pour x = 0e tx=
2
√ 2 π
√
3
.
Comme V (0) = V (2π) = 0, le maximum de la
fonction V sur [0, 2π]n ep eut être atteint qu’en
x =
2
√
2π
√ 3
. La valeur de ce maximum est:
V
2
√ 2π
√ 3
=
2π
√ 3R
3
27
.
4.2 • Théorème de Rolle
Théorème 3(théorème de Rolle)
Soit f une fonction de R dans R ,continue sur un segment [a, b]e tdérivable
sur ]a, b[( avec a < b).
Si f (a) = f (b), la dérivéede f s’annule sur ]a, b[.
∃c ∈ ]a, b[ f
(c) = 0
Démonstration
f étantcontinue, l’image du segment [a, b]e st un segment [m, M ]. Les bornes
m et M sont atteintes. Montrons que l’une au moins d’entre elles estunextremum
local.
• Si m = M , f est constante et f
est nulle sur ]a, b[.
• Si m < M , l’une au moins de ces deux bornes estd ifférente de f (a)( et
donc de f (b)). Elleest, par conséquent, atteinte en un point c ∈ ]a, b[. Il existe
α > 0t el que ]c −α, c +α[⊂]a, b[: f présente un extremum local en c. D’après
le théorème précédent, f
(c) = 0.
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