Dérivation des fonctions d’une variable réelle
COURS
16
4 Propriétés des fonctions
dérivables de R dans R
4.1 • Extremum local
IMPORTANT
L’adjectif local signifie que la valeur
f (x0)e st extrémale surunvoisinage à
droite et àgauche de x0. Le minimum
de la fonction x
→
√ x en 0n ’est
pas local,c ar cette fonction n’est pas
définie àgauche de 0.
Soit f une fonction de R dans R définiesur une partie D et x 0 un élément de
D. On dit que f présente un maximumlocal en x 0 s’il existe α > 0t el que :
]x 0 − α, x 0 + α[ ⊂ D et ∀x ∈ ]x 0 − α, x 0 + α[ f (x) f (x 0 )
On définitdemême un minimumlocal.
Théorème 2
Soit f une fonction de R dans R définiesur une partie D. Si f présente un
extremum local en x 0 ∈ D, et si elle est dérivable en x 0 , alors f
(x 0 ) = 0.
x 0 –
x 1
α
x 0 +α
x 0 x 2
y
x
O
Doc. 3 Dérivéeenunextremum local.
Démonstration
Supposons, pour fixer les idées, qu’il s’agisse d’un maximum local (Doc. 3).
∃α > 0 ∀x ∈]x 0 − α, x 0 + α[ f (x) f (x 0 )
∀x 1 ∈ ]x 0 − α, x 0 [
f (x 1 ) − f (x 0 )
x 1 − x 0
0, d’oùl im
x →
<
x0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
0, soit f
(x 0 ) 0
∀x 2 ∈ ]x 0 , x 0 + α[
f (x 2 ) − f (x 0 )
x 2 − x 0
0, d’où lim
x →
>
x0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
0, soit f
(x 0 ) 0
D’où,endéfinitive, f
(x 0 ) = 0.
Graphiquement, la courbe représentative de f admetaupoint M 0 (x 0 , f (x 0 )) une
tangente parallèle àl’axe des abscisses.
Remarques :
1) Ce théorème ne concerne évidemment que lesfonctions dérivables. Une fonction peut
présenter un extremum local en un point sans être dérivable en ce point :par exemple,
x
→ |x| en 0.
2) Ce théorème ne concerne que lese xtrema locaux. Une fonction dérivable peut
présenter un extremum en un point sans que sa dérivée ne s’annule en ce point :p ar
exemple, l’applicationidentique du segment [0, 1] présente un maximum en 1, bien
que sa dérivée en ce point soit égale à1.
3) Ce théorème n’admet pas de réciproque :u ne fonction dérivable dont la dérivée
s’annule en un pointneprésente pas nécessairement d’extremum local en ce point :par
exemple, x
→ x
3
en 0.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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dérivables de R dans R
4.1 • Extremum local
IMPORTANT
L’adjectif local signifie que la valeur
f (x0)e st extrémale surunvoisinage à
droite et àgauche de x0. Le minimum
de la fonction x
→
√ x en 0n ’est
pas local,c ar cette fonction n’est pas
définie àgauche de 0.
Soit f une fonction de R dans R définiesur une partie D et x 0 un élément de
D. On dit que f présente un maximumlocal en x 0 s’il existe α > 0t el que :
]x 0 − α, x 0 + α[ ⊂ D et ∀x ∈ ]x 0 − α, x 0 + α[ f (x) f (x 0 )
On définitdemême un minimumlocal.
Théorème 2
Soit f une fonction de R dans R définiesur une partie D. Si f présente un
extremum local en x 0 ∈ D, et si elle est dérivable en x 0 , alors f
(x 0 ) = 0.
x 0 –
x 1
α
x 0 +α
x 0 x 2
y
x
O
Doc. 3 Dérivéeenunextremum local.
Démonstration
Supposons, pour fixer les idées, qu’il s’agisse d’un maximum local (Doc. 3).
∃α > 0 ∀x ∈]x 0 − α, x 0 + α[ f (x) f (x 0 )
∀x 1 ∈ ]x 0 − α, x 0 [
f (x 1 ) − f (x 0 )
x 1 − x 0
0, d’oùl im
x →
<
x0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
0, soit f
(x 0 ) 0
∀x 2 ∈ ]x 0 , x 0 + α[
f (x 2 ) − f (x 0 )
x 2 − x 0
0, d’où lim
x →
>
x0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
0, soit f
(x 0 ) 0
D’où,endéfinitive, f
(x 0 ) = 0.
Graphiquement, la courbe représentative de f admetaupoint M 0 (x 0 , f (x 0 )) une
tangente parallèle àl’axe des abscisses.
Remarques :
1) Ce théorème ne concerne évidemment que lesfonctions dérivables. Une fonction peut
présenter un extremum local en un point sans être dérivable en ce point :par exemple,
x
→ |x| en 0.
2) Ce théorème ne concerne que lese xtrema locaux. Une fonction dérivable peut
présenter un extremum en un point sans que sa dérivée ne s’annule en ce point :p ar
exemple, l’applicationidentique du segment [0, 1] présente un maximum en 1, bien
que sa dérivée en ce point soit égale à1.
3) Ce théorème n’admet pas de réciproque :u ne fonction dérivable dont la dérivée
s’annule en un pointneprésente pas nécessairement d’extremum local en ce point :par
exemple, x
→ x
3
en 0.
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