COURS 16
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
5 Fonctions convexes
5.1 • Définition
IMPORTANT
Ceparagraphen’ est pasauprogramme des étudiants de PTSI qui
n’ont paschoisi l’option PSI.
y
x
xy
f ( x )+(1 )
− f(y)
λ
λ
x+(1− ) y
λλ
f ( x+(1− )y)
λ
λ
P
G
M
O
N
Doc. 9 Fonction convexe.
Soit f une fonction de R dans R définiesur un intervalle I contenant au moins
deux points. On dit que f est convexe sur I si :
∀(x, y) ∈ I
2
∀λ ∈ [0, 1] f (λx +(1−λ)y)λf(x)+(1 − λ) f (y)
Interprétation graphique :
Soit M et N les points de la courbe représentative de f d’abscisses respectives
x et y.
Soit G le barycentre du système( M , λ ) , ( N , 1−λ ) .
Les coordonnées de G sont (λx +(1−λ)y, λf(x)+(1−λ)f(y)).
Soit P le pointdelacourbe C f d’abscisse λx +(1−λ)y. L’ordonnée de P est
f (λx +(1−λ)y). La définition de la convexité de f exprimedonc que le point
P estsitué en dessous de G (Doc. 9).
Une fonction estconvexe si et seulement si tout arcdesacourbe représentative
est situé en dessousdelacorde correspondante.
Exemple:la fonction valeur absolue x
→ |x| est convexe.
Une fonction estdite concave si son opposée estconvexe. La propriété estinversée :
tout arc est au-dessus de sa corde.
APPLICATION 4
Généralisation :inégalité de Jensen
Soit fu ne fonction convexe sur un intervalle I . Démontrerque ∀n 2 ∀(x i ) ∈ I
n
∀(λ i ) ∈ R
n
+ :
n
i=1
λ i = 1 ⇒ f
n
i=1
λ i x i
n
i=1
λ i f (x i )
Effectuons une récurrence sur n. Pour n = 2, on reconnaîtladéfinition d’une fonction convexe (on écrit
λ 1 + λ 2 = 1a ulieude λ 2 =1−λ 1 ):
∀(x 1 ,x 2 )∈I
2
∀(λ 1 ,λ 2 )∈R
2
+ λ 1 +λ 2 =1
= ⇒ f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )λ 1 f(x 1 )+λ 2 f(x 2 )
Soit n un entier supérieur ou égal à2p our lequel
la propriété estvraie, et soit (x 1 , ··· ,x n+1 ) ∈ I
n+1
et
(λ 1 , ··· ,λ n+1 ) ∈ R
n+1
+
telque
n+1
i=1
λ i = 1.
f
n+1
i=1
λ i x i
= f
n
i=1
λ i x i + λ n+1 x n+1
Posons Λ =
n
i=1
λ i .
• Si Λ
= 0:soit ξ le barycentre de
(x 1 , λ 1 ), ··· ,(x n ,λ n ); comme I estu ni ntervalle,
ξ ∈ I .
n
i=1
λ i x i = Λξ et Λ + λ n+1 = 1
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Dérivation des fonctions d’une variable réelle
5 Fonctions convexes
5.1 • Définition
IMPORTANT
Ceparagraphen’ est pasauprogramme des étudiants de PTSI qui
n’ont paschoisi l’option PSI.
y
x
xy
f ( x )+(1 )
− f(y)
λ
λ
x+(1− ) y
λλ
f ( x+(1− )y)
λ
λ
P
G
M
O
N
Doc. 9 Fonction convexe.
Soit f une fonction de R dans R définiesur un intervalle I contenant au moins
deux points. On dit que f est convexe sur I si :
∀(x, y) ∈ I
2
∀λ ∈ [0, 1] f (λx +(1−λ)y)λf(x)+(1 − λ) f (y)
Interprétation graphique :
Soit M et N les points de la courbe représentative de f d’abscisses respectives
x et y.
Soit G le barycentre du système( M , λ ) , ( N , 1−λ ) .
Les coordonnées de G sont (λx +(1−λ)y, λf(x)+(1−λ)f(y)).
Soit P le pointdelacourbe C f d’abscisse λx +(1−λ)y. L’ordonnée de P est
f (λx +(1−λ)y). La définition de la convexité de f exprimedonc que le point
P estsitué en dessous de G (Doc. 9).
Une fonction estconvexe si et seulement si tout arcdesacourbe représentative
est situé en dessousdelacorde correspondante.
Exemple:la fonction valeur absolue x
→ |x| est convexe.
Une fonction estdite concave si son opposée estconvexe. La propriété estinversée :
tout arc est au-dessus de sa corde.
APPLICATION 4
Généralisation :inégalité de Jensen
Soit fu ne fonction convexe sur un intervalle I . Démontrerque ∀n 2 ∀(x i ) ∈ I
n
∀(λ i ) ∈ R
n
+ :
n
i=1
λ i = 1 ⇒ f
n
i=1
λ i x i
n
i=1
λ i f (x i )
Effectuons une récurrence sur n. Pour n = 2, on reconnaîtladéfinition d’une fonction convexe (on écrit
λ 1 + λ 2 = 1a ulieude λ 2 =1−λ 1 ):
∀(x 1 ,x 2 )∈I
2
∀(λ 1 ,λ 2 )∈R
2
+ λ 1 +λ 2 =1
= ⇒ f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )λ 1 f(x 1 )+λ 2 f(x 2 )
Soit n un entier supérieur ou égal à2p our lequel
la propriété estvraie, et soit (x 1 , ··· ,x n+1 ) ∈ I
n+1
et
(λ 1 , ··· ,λ n+1 ) ∈ R
n+1
+
telque
n+1
i=1
λ i = 1.
f
n+1
i=1
λ i x i
= f
n
i=1
λ i x i + λ n+1 x n+1
Posons Λ =
n
i=1
λ i .
• Si Λ
= 0:soit ξ le barycentre de
(x 1 , λ 1 ), ··· ,(x n ,λ n ); comme I estu ni ntervalle,
ξ ∈ I .
n
i=1
λ i x i = Λξ et Λ + λ n+1 = 1
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