COURS 16
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
2.4 • Dérivéed’une fonction composée
Soit u unef onction dérivable en x 0 , et f une fonction dérivable en u(x 0 ).
Écrivons les développements limités de u et f , respectivement en x 0 et u(x 0 ):
u(x 0 +h)=u(x 0 )+hu
(x 0 )+o(h)
f(u(x 0 )+k)=f(u(x 0 )) + kf
(u(x 0 )) + o(k)
Posons k = hu
(x 0 )+o(h). Toute fonction négligeable devant k est négligeable
devant h. On peut donc écrire :
f (u(x 0 + h)) = f (u(x 0 )) +[hu
(x 0 )+o(h)] f
(u(x 0 )) + o(h)
c’est-à-dire :
f ◦ u(x 0 + h) = f ◦ u(x 0 )+hu
(x 0 )f
(u(x 0 )) + o(h)
La fonction f ◦ u estdonc dérivable en x 0 et :
(f ◦ u)
(x 0 ) = u
(x 0 ) f
(u(x 0 ))
Si u est dérivables ur un intervalle I et f dérivable sur l’intervalle u(I ), la
fonction f ◦ u est dérivable sur I et :
IMPORTANT
Avec la notationdeLeibniz, cette formule devient «transparente », àcondition de noter
d f
d u
la dérivéed el a
fonction f (c’est-à-dire u → f (u))
et
d F
d x
celle de la fonction F = f ◦ u
(c’est-à-dire x → f (u(x))):
x
u(x)
✲
F
uf
f ( u ( x ))
d F
d x
=
d f
d u
d u
d x
(f ◦ u)
= u
· f
◦ u
Exemples importants :
Si u est une fonction dérivable :
• (ln |u|)
=
u
u
(si u ne s’annule pas) ;
• (e
u
)
= u
e
u
;
• (u
α
)
= αu
u
α−1
(si u > 0e tα∈R ) .
2 . 5•Dérivée d’une fonction réciproque
Soit f uneb ijection continue et strictementm onotone de l’intervalle I dans
l’intervalle J = f (I ). On sait que la bijection réciproque f
−1
est continue sur J .
Supposons, de plus, que f est dérivable sur I . Qu’en est-il de f
−1
?
Soit y 0 et y deux éléments distincts de J . Posons x 0 = f
−1
(y 0 )e tx=f
− 1
( y ) .
Comme f
−1
estinjective, x = x 0 .
f
−1
(y) − f
−1
(y 0 )
y − y 0
=
x − x 0
f (x) − f (x 0 )
=
1
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
Lorsque y tend vers y 0 , du faitd el ac ontinuité de f
−1
, x tend vers x 0 .
Si f
(x 0 )
= 0, le quotient ci-dessus tendvers
1
f (x 0 )
.
La fonction f
−1
est alors dérivable en y 0 et :
( f
−1
)
(y 0 ) =
1
f (x 0 )
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