Dérivation des fonctions d’une variable réelle
COURS
16
y
y 0
x 0
y 0
x 0
x
O
Doc. 2 Dérivéed’une fonction
réciproque.
Si f
ne s’annule passur I , f
−1
est dérivablesur J et :
( f
−1
)
=
1
f
◦ f
−1
Interprétation graphique :
Dans un repère orthonormé, les tangentes aux courbes C f −1 et C f respectivementa ux points (y 0 , x 0 )e t( x 0 , y 0 )s ont symétriques par rapport àl ap remière
bissectrice. Leurs pentes sont donc inverses l’une de l’autre (Doc. 2).
Exemple : La dérivation d’une fonction réciproque aété largement exploitée dans
le chapitre Fonctionsusuelles.Rappelons simplement ici le calcul de la dérivée de la
fonction exponentielle népérienne. Le logarithme népérien est, par définition, une
primitivede x →
1
x
sur R
∗
+ . C’est une fonction continue strictement croissante,
c’est donc une bijection de R
∗
+ dans R. Sa dérivéenes’annule pas sur R
∗
+ ;l a
bijection réciproque x
→ e
x
est donc dérivable sur R et :
∀x ∈ R (exp)
(x) =
1
ln
(e x )
= e
x
Pour s’entraîner:ex. 6
La dérivée n-ième d’une fonction f
se note
d(f(x),x,n).
3 Dérivées successives
3.1 • Définitions
Soit f unef onction dérivable sur un intervalle I de R. Sa
dérivée f
peut être elle-mêmedérivable. On appelle alors dérivéeseconde la dérivéede f
, notée f
. Cette fonction peut
être elle-même dérivable, etc. Si f est n fois dérivable, on note
f
(n)
sa dérivéed’ordre n (ou dérivée n-ième).
On dit que f est de classe C
n
sur I si elle admet une dérivée d’ordre n
continue sur I . On dit que f est de classe C
∞
si elle admetd es dérivées
successivesdetout ordre (qui sont nécessairement continues puisque dérivables).
Leibniz, 1616-1716, philosophe et
mathématicienallemand.
3.2 • Dérivée n-ième d’unproduit
Théorème 1(formule de Leibniz)
Si f et g sont des fonctions de R dans R , n fois dérivables sur un intervalle
I , la fonction fg est n fois dérivable sur I et :
( fg)
(n)
=
n
k=0
n
k
f
(k)
g
(n−k)
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
291
COURS
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y
y 0
x 0
y 0
x 0
x
O
Doc. 2 Dérivéed’une fonction
réciproque.
Si f
ne s’annule passur I , f
−1
est dérivablesur J et :
( f
−1
)
=
1
f
◦ f
−1
Interprétation graphique :
Dans un repère orthonormé, les tangentes aux courbes C f −1 et C f respectivementa ux points (y 0 , x 0 )e t( x 0 , y 0 )s ont symétriques par rapport àl ap remière
bissectrice. Leurs pentes sont donc inverses l’une de l’autre (Doc. 2).
Exemple : La dérivation d’une fonction réciproque aété largement exploitée dans
le chapitre Fonctionsusuelles.Rappelons simplement ici le calcul de la dérivée de la
fonction exponentielle népérienne. Le logarithme népérien est, par définition, une
primitivede x →
1
x
sur R
∗
+ . C’est une fonction continue strictement croissante,
c’est donc une bijection de R
∗
+ dans R. Sa dérivéenes’annule pas sur R
∗
+ ;l a
bijection réciproque x
→ e
x
est donc dérivable sur R et :
∀x ∈ R (exp)
(x) =
1
ln
(e x )
= e
x
Pour s’entraîner:ex. 6
La dérivée n-ième d’une fonction f
se note
d(f(x),x,n).
3 Dérivées successives
3.1 • Définitions
Soit f unef onction dérivable sur un intervalle I de R. Sa
dérivée f
peut être elle-mêmedérivable. On appelle alors dérivéeseconde la dérivéede f
, notée f
. Cette fonction peut
être elle-même dérivable, etc. Si f est n fois dérivable, on note
f
(n)
sa dérivéed’ordre n (ou dérivée n-ième).
On dit que f est de classe C
n
sur I si elle admet une dérivée d’ordre n
continue sur I . On dit que f est de classe C
∞
si elle admetd es dérivées
successivesdetout ordre (qui sont nécessairement continues puisque dérivables).
Leibniz, 1616-1716, philosophe et
mathématicienallemand.
3.2 • Dérivée n-ième d’unproduit
Théorème 1(formule de Leibniz)
Si f et g sont des fonctions de R dans R , n fois dérivables sur un intervalle
I , la fonction fg est n fois dérivable sur I et :
( fg)
(n)
=
n
k=0
n
k
f
(k)
g
(n−k)
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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