Dérivation des fonctions d’une variable réelle
COURS
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2.2 • Dérivée d’un produit
De même, en multipliant membre àmembre les développements limités de f et
g en x 0 , on obtient :
( fg)(x 0 + h) = ( fg)(x 0 )+h
f
(x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )g
(x 0 )
+h
2
f
(x 0 )g
(x 0 )+o(h)
f(x 0 )+g(x 0 )+hf
(x 0 )+hg
(x 0 )+o(h)
Tous les termes de la seconde ligne sont négligeables devant h. D’où:
(fg)(x 0 + h) = ( fg)(x 0 )+h
f
(x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )g
(x 0 )
+o(h)
La fonction fg est donc dérivable en x 0 et :
( fg)
(x 0 ) = f
(x 0 )g(x 0 )+f(x 0 )g
(x 0 )
Si f et g sont dérivables sur l’intervalle I , fg est dérivable sur I et :
( fg)
= f
g + fg
2 .3•Dérivée d’un quotient
On suppose, de plus, que g(x 0 ) = 0. Comme g estc ontinue en x 0 , il existe
α > 0t el que :
∀h ∈ ] − α, α[ g(x 0 + h) = 0
1
g(x 0 + h)
=
1
g(x 0 )+hg (x 0 )+o(h)
=
1
g(x 0 )
·
1
1+h
g
(x 0 )
g(x 0 )
+o(h)
=
1
g(x 0 )
1−h
g
(x 0 )
g(x 0 )
+o(h)
=
1
g(x 0 )
−h
g
(x 0 )
g(x 0 ) 2 +o(h).
La fonction
1
g
est donc dérivableen x 0 et :
1
g
(x 0 ) = −
g
(x 0 )
g(x 0 ) 2 .
Si g estd érivable sur l’intervalle I et qu’elle ne s’annule pas sur I ,
1
g
est
dérivable sur I et :
1
g
= −
g
g 2
En multipliant par f , on obtient :
f
g
= f
1
g
+ f
1
g
= −
fg
g 2 +
f
g
,
soit :
f
g
=
f
g − fg
g 2
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