COURS 16
Dérivation des fonctions d’une variable réelle
Exemples (les dérivées des fonctions usuelles étant supposées connues) :
• e
h
= 1+h+o(h)( au voisinage de h = 0).
• ln(1 + h) = h + o(h)( au voisinage de h = 0).
• (1 + h)
α
= 1+αh+o(h)( au voisinage de h = 0).
En particulier,
1
1+h
=1−h+o(h)( au voisinage de h = 0).
1.3 • Interprétation graphique
Le quotient
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
représente le taux d’accroissementd el af onction f
entre x 0 et x. C’est la pente de la sécante joignant les points M 0 (x 0 , f (x 0 )) et
M (x, f (x)) de la courbe représentative de f .
Si f est dérivable, cette sécante aune position limite, que l’on appelle tangente à
la courbe en M 0 . La dérivée f
(x 0 )r eprésente la pente de cette tangente (Doc. 1).
y
fx ()
fx () 0
x 0
x
x
O
M 0
M
Doc. 1 Fonction dérivableen x0
Une équation de cette tangente est donc :
y − f (x 0 ) = f
(x 0 )(x −x 0 )
1.4• Interprétation cinématique
Si f (t)r eprésente la position àl ’instant t d’un mobile sur un axe, le quotient
f (t) − f (t 0 )
t − t 0
représentel avitesse moyenne du mobile sur l’intervalle de temps
[t 0 , t]. La dérivée f
(t 0 ), si elle existe,représente la vitesse instantanée du mobile
àl’instant t 0 .
Pour s’entraîner:ex. 2et3
2 Opérations sur les dérivées
2.1 • Dérivée d’une somme
Soit f et g deux fonctions dérivables en x 0 . Écrivons les développements limités
de ces deux fonctions en x 0 :
f (x 0 + h) = f (x 0 )+hf
(x 0 )+o(h)e tg ( x 0 + h ) = g ( x 0 )+hg
(x 0 )+o(h)
En ajoutant membre àmembre, on obtient :
( f + g)(x 0 + h) = ( f + g)(x 0 )+h(f
(x 0 )+g
(x 0 )) + o(h)
La fonction f + g estdonc dérivable en x 0 et ( f + g)
(x 0 ) = f
(x 0 )+g
(x 0 ). Si
f et g sont dérivables sur l’intervalle I , f + g est dérivable sur I et :
( f + g)
= f
+ g
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