Dérivation des fonctions d’une variable réelle
COURS
16
1 Fonction dérivable
1.1 • Dérivabilité en un point
IMPORTANT
Pour quecette limite existe, il est nécessaire que f (x) − f (x0)t ende vers
0quand x tend vers x0 :
toute fonction dérivable en x 0 est
continue en x 0 .
La réciproque est fausse :l es fonctions (x → |x|)o u( x →
√ x ), par
exemple, sont continues, mais non dérivables en 0.
Soit f une fonction de R dans R définiesur un intervalle I contenant au moins
deux points, et x 0 un élémentd e I. La fonction f est dite dérivable en x 0
si la fonction x
→
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
admet une limite finie quand x tendvers x 0 .
Cette limite est alors appelée dérivée de f en x 0 , et notée f
(x 0 ).
f
(x 0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
Il estsouvent pratique de se ramener àune limite en 0:
f
(x 0 )= lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
La fonction f estd ite dérivable àd roite (respectivementàg auche) en x 0 si
la restriction de f à I ∩ [x 0 , +∞[( respectivement I ∩ ] − ∞, x 0 ]) est dérivable
en x 0 .
IMPORTANT
D’après cette définition, f est dérivable sur[ a , b ]s ietseulement si elle
est dérivable en tout point de ]a, b[,
dérivableàdroite en a et àgauche en
b. Par exemple, la fonction (x → |x|)
est dérivable sur R+ , bien qu’elle ne
soit pas dérivable en 0(c’est sa restriction à R+ qui estdérivable en 0...).
La fonction f estdite dérivable sur une partie A de I si sa restriction à A est
dérivable en tout point de A. On peut alors définir la fonction dérivée de f :
A →
f
R
x
→ f
(x)
La TI-92/Voyage 200 calcule des fonctions dérivées, dont
on peut demander la valeure nu np oint. Pour vérifier la
dérivabilité en certains points particuliers, il faut revenir à
la définition sous forme de limite.
Notations:La fonction dérivée de f peut être notée f
ou
Df ou encore
d f
d x
. Cette dernière notation, qui rappelle que
la dérivée estlalimite du taux d’accroissement
Δ f
Δ x
quand Δ x
tend vers 0, est très pratique dans les applications de la dérivation (Physique, Chimie, Mécanique, etc.). Nous l’utiliserons
en géométrie différentielle( étude des courbes paramétrées). La
significationdusymbole d f , pris isolément, sera vue plus tard
(c’est une application linéaireappelée différentielle).
1.2 • Développementlimité d’ordre 1
La dérivabilité de f en x 0 équivaut à:
f(x 0 +h)−f(x 0 )
h
=f
(x 0 )+o(1)
c’est-à-dire :
f (x 0 + h) = f (x 0 )+hf
(x 0 )+o(h)
Réciproquement, s’il existe a ∈ R telque :
f (x 0 + h) = f (x 0 )+ah+o(h),
on dit que f admet un développement limité d’ordre 1 en x 0 ;a lors f est
dérivable en x 0 et f
(x 0 ) = a. La dérivée de f en x 0 est le coefficient de h
dans ce développement.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
287
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1 Fonction dérivable
1.1 • Dérivabilité en un point
IMPORTANT
Pour quecette limite existe, il est nécessaire que f (x) − f (x0)t ende vers
0quand x tend vers x0 :
toute fonction dérivable en x 0 est
continue en x 0 .
La réciproque est fausse :l es fonctions (x → |x|)o u( x →
√ x ), par
exemple, sont continues, mais non dérivables en 0.
Soit f une fonction de R dans R définiesur un intervalle I contenant au moins
deux points, et x 0 un élémentd e I. La fonction f est dite dérivable en x 0
si la fonction x
→
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
admet une limite finie quand x tendvers x 0 .
Cette limite est alors appelée dérivée de f en x 0 , et notée f
(x 0 ).
f
(x 0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x 0 )
x − x 0
Il estsouvent pratique de se ramener àune limite en 0:
f
(x 0 )= lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
La fonction f estd ite dérivable àd roite (respectivementàg auche) en x 0 si
la restriction de f à I ∩ [x 0 , +∞[( respectivement I ∩ ] − ∞, x 0 ]) est dérivable
en x 0 .
IMPORTANT
D’après cette définition, f est dérivable sur[ a , b ]s ietseulement si elle
est dérivable en tout point de ]a, b[,
dérivableàdroite en a et àgauche en
b. Par exemple, la fonction (x → |x|)
est dérivable sur R+ , bien qu’elle ne
soit pas dérivable en 0(c’est sa restriction à R+ qui estdérivable en 0...).
La fonction f estdite dérivable sur une partie A de I si sa restriction à A est
dérivable en tout point de A. On peut alors définir la fonction dérivée de f :
A →
f
R
x
→ f
(x)
La TI-92/Voyage 200 calcule des fonctions dérivées, dont
on peut demander la valeure nu np oint. Pour vérifier la
dérivabilité en certains points particuliers, il faut revenir à
la définition sous forme de limite.
Notations:La fonction dérivée de f peut être notée f
ou
Df ou encore
d f
d x
. Cette dernière notation, qui rappelle que
la dérivée estlalimite du taux d’accroissement
Δ f
Δ x
quand Δ x
tend vers 0, est très pratique dans les applications de la dérivation (Physique, Chimie, Mécanique, etc.). Nous l’utiliserons
en géométrie différentielle( étude des courbes paramétrées). La
significationdusymbole d f , pris isolément, sera vue plus tard
(c’est une application linéaireappelée différentielle).
1.2 • Développementlimité d’ordre 1
La dérivabilité de f en x 0 équivaut à:
f(x 0 +h)−f(x 0 )
h
=f
(x 0 )+o(1)
c’est-à-dire :
f (x 0 + h) = f (x 0 )+hf
(x 0 )+o(h)
Réciproquement, s’il existe a ∈ R telque :
f (x 0 + h) = f (x 0 )+ah+o(h),
on dit que f admet un développement limité d’ordre 1 en x 0 ;a lors f est
dérivable en x 0 et f
(x 0 ) = a. La dérivée de f en x 0 est le coefficient de h
dans ce développement.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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