Fonctions d’une variable réelle
EXERCICES
15
e) lim
x→
π
2
ln(sin
2
x)
π
2
− x
2 ;
f) lim
x→0
ln x ln(1+ln(1 + x)) ;
g) lim
x→0
(1 +tan x)
1
sin x ;
h) lim
x→0
1
x 2 (e
cos x−1
− 1) ;
i) lim
x→0
x ln x
x x − 1
;
j) lim
x→+∞
√ 4x +1ln
1 −
√ x +1
x+2
;
k) lim
x→+∞
ln(1 + x)
ln x
x ln x
.
8 Calculer,pour n ∈ N
∗
:
lim
x→+∞
[(x +1)(x +2)···(x+n)]
1/n −x
Propriétés des fonctions continues
9 Soit f une application de R dans R ,continue en 0,
et telle que :
∀x ∈ R f (2x) = f (x)
Montrerque f est constante.
10 Soit f une fonction continue sur [a, b], àv aleurs
réelles et p et q deux réelspositifs. Montrer que :
∃c ∈ [a, b] pf (a)+qf(b)=(p+q)f(c)
11
∗
Soit f unef onction numérique définie et continue
sur [0, 1] telle que f (0) = f (1). Montrerque :
∀n ∈ N
∗
∃x ∈ [0, 1] f
x +
1
n
= f (x)
12 Soit f une fonction continue sur R + admettantune
limite finie en +∞. Démontrer que f est bornée et qu’elle
atteint au moins l’une de ses bornes :
1) par une démonstrationdirecte ;
2) en posant F = f ◦ ϕ, où ϕ est l’application :
[0, 1[ →
ϕ
R +
x
→
x
1 − x
et en prolongeant F par continuitéen1 .
13 Soit f la fonction définiepar f (x) = ln(e
x
+1)
Montrer que f est une bijection de R dans R
∗
+ . Déterminer sa bijection réciproque.
14 Soit f la fonction définiepar f (x) =
1
2
ln
x − 1
x +1
1) Comparer f
1
x
et f (x)
2) On désigne par ϕ la restriction de f à]−1 , 1[. Démontrerque ϕ est une bijection de ] − 1, 1[ dans R.
3) Déterminer la fonction ϕ
−1
◦ f .
Fonctions àvaleurs complexes
15 Calculer lim
t→0
r
t
e
iαt
− 1
t
(r ∈ R
∗
+
et α ∈ R).
16 Montrer que si f est une fonction continue de R dans
C ,lafonction t → |f (t)| est continue. Réciproque ?
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