Exercices
1 Vraioufaux ?
a) La somme de deux fonctions monotonesest monotone.
b) La composée de deux fonctions monotones estm onotone.
c) Toute fonction qui tend vers +∞ en +∞ est croissante
au voisinage de +∞.
d) Toute fonction périodique monotone est constante.
e) Toute fonction périodique possèdeu ne plus petite période strictement positive.
f) Toutef onction monotone sur R admet une limite à
gauche et une limite àdroite (finie ou infinie) en toutpoint.
g) Toute fonction admettant en un point une limite à
gauche et une limite àdroite égales est continue en ce point.
h) Pour toute fonction, il existe au moins un intervalle
ouvert non vide sur lequel elle est monotone.
i) Si deux fonctions sont équivalentes au voisinage de a,
leur différence tend vers 0e na .
j) Deux fonctionsdont la différence tend vers 0e nasont
équivalentes au voisinagede a.
k) S’il existe une suite (x n )c onvergeant vers a telle que
( f (x n )) converge vers f (a), alors f est continue en a.
l) L’imaged’un intervalle ouvert par une fonction continue
est un intervalle ouvert.
m) Toute fonction continue sur un intervalle borné est
bornée.
n) La fonction partie entièreest continue sur [0, 1[.
o) e
x
∼ 1 − x au voisinagede0 .
p)
√ 1+2x=1+x+o(x)a uvoisinage de 0.
2 Montrer que toute fonction définie sur un domaine
D symétrique par rapport à0est, de façon unique, la somme
d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Continuité
3 Étudier la continuité des fonctionsdéfinies par :
1) f (x) = x − E(x) − (x − E(x))
2
;
2) f (x) = (−1)
E(x)
x − E(x) −
1
2
;
3)
⎧
⎨
⎩
si x
= 0 f (x) = x sin
1
x
si x = 0 f (x) = 0;
4 Pour a et b réels, écrire max(a, b)e tm in(a, b)à
l’aide de sommes, de différences et de valeurs absolues. En
déduire que, si f et g sont des fonctions continues sur un
intervalle I de R ,les fonctions sup ( f , g)e ti nf ( f , g)
le sontaussi. Appliquer ce résultat aux fonctions :
f +
f + (x) = f (x)s i f ( x ) 0
f + ( x ) = 0s i f ( x ) < 0
et
f −
f − (x) = 0s i f ( x ) 0
f − ( x ) = − f ( x )s i f ( x ) < 0
Limites –Équivalents
5 Déterminer les limites suivantes, si elles existent :
a) lim
x→0
√
1+x−
√ 1−x
x
; b) lim
x→0
3
√ 1+x−
3
√ 1−x
x
;
c) lim
x→+∞
x 3
x − 1
− x ;
d) lim
x→0
sin x
√ 1 − cos x
;
e) lim
x→
π
4
sin x − cos x
x −
π
4
;
f) lim
x→
π
3
sin 3x
1 − 2cos x
;
g) lim
x→0
x
x
;
h) lim
x→0
| ln x|
x
;
i) lim
x→0
(sin x)
1
ln x .
6 Trouver un équivalent simple de f au voisinage
de 0:
a) f (x) = cos(sin x);
b) f (x) = ln(cos x);
c) f (x) = ln(sin x);
d) f (x) = cos(ax)−cos(bx);
e) f (x) = a
x
− b
x
(a > 0 , b > 0) ;
f) f (x) = tan
π
2x +1
;
g)
4
√
1+x 2 −
4
1−x 2 ;
h)
4
√ 16 + x −
3
√
8+x;
i)
1
√ 2+3x
−
1
√ 2−3x
.
7 Calculer les limites suivantes en se servant d’équivalents :
a) lim
x→
π
2
tan x tan 2x ;
b) lim
x→
1
2
(2x
2
− 3x +1)tan πx ;
c) lim
x→0
ln(cos ax)
ln(cos bx)
;
d) lim
x→0
ln(cos x)
1 − cos2x
;
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1 Vraioufaux ?
a) La somme de deux fonctions monotonesest monotone.
b) La composée de deux fonctions monotones estm onotone.
c) Toute fonction qui tend vers +∞ en +∞ est croissante
au voisinage de +∞.
d) Toute fonction périodique monotone est constante.
e) Toute fonction périodique possèdeu ne plus petite période strictement positive.
f) Toutef onction monotone sur R admet une limite à
gauche et une limite àdroite (finie ou infinie) en toutpoint.
g) Toute fonction admettant en un point une limite à
gauche et une limite àdroite égales est continue en ce point.
h) Pour toute fonction, il existe au moins un intervalle
ouvert non vide sur lequel elle est monotone.
i) Si deux fonctions sont équivalentes au voisinage de a,
leur différence tend vers 0e na .
j) Deux fonctionsdont la différence tend vers 0e nasont
équivalentes au voisinagede a.
k) S’il existe une suite (x n )c onvergeant vers a telle que
( f (x n )) converge vers f (a), alors f est continue en a.
l) L’imaged’un intervalle ouvert par une fonction continue
est un intervalle ouvert.
m) Toute fonction continue sur un intervalle borné est
bornée.
n) La fonction partie entièreest continue sur [0, 1[.
o) e
x
∼ 1 − x au voisinagede0 .
p)
√ 1+2x=1+x+o(x)a uvoisinage de 0.
2 Montrer que toute fonction définie sur un domaine
D symétrique par rapport à0est, de façon unique, la somme
d’une fonction paire et d’une fonction impaire.
Continuité
3 Étudier la continuité des fonctionsdéfinies par :
1) f (x) = x − E(x) − (x − E(x))
2
;
2) f (x) = (−1)
E(x)
x − E(x) −
1
2
;
3)
⎧
⎨
⎩
si x
= 0 f (x) = x sin
1
x
si x = 0 f (x) = 0;
4 Pour a et b réels, écrire max(a, b)e tm in(a, b)à
l’aide de sommes, de différences et de valeurs absolues. En
déduire que, si f et g sont des fonctions continues sur un
intervalle I de R ,les fonctions sup ( f , g)e ti nf ( f , g)
le sontaussi. Appliquer ce résultat aux fonctions :
f +
f + (x) = f (x)s i f ( x ) 0
f + ( x ) = 0s i f ( x ) < 0
et
f −
f − (x) = 0s i f ( x ) 0
f − ( x ) = − f ( x )s i f ( x ) < 0
Limites –Équivalents
5 Déterminer les limites suivantes, si elles existent :
a) lim
x→0
√
1+x−
√ 1−x
x
; b) lim
x→0
3
√ 1+x−
3
√ 1−x
x
;
c) lim
x→+∞
x 3
x − 1
− x ;
d) lim
x→0
sin x
√ 1 − cos x
;
e) lim
x→
π
4
sin x − cos x
x −
π
4
;
f) lim
x→
π
3
sin 3x
1 − 2cos x
;
g) lim
x→0
x
x
;
h) lim
x→0
| ln x|
x
;
i) lim
x→0
(sin x)
1
ln x .
6 Trouver un équivalent simple de f au voisinage
de 0:
a) f (x) = cos(sin x);
b) f (x) = ln(cos x);
c) f (x) = ln(sin x);
d) f (x) = cos(ax)−cos(bx);
e) f (x) = a
x
− b
x
(a > 0 , b > 0) ;
f) f (x) = tan
π
2x +1
;
g)
4
√
1+x 2 −
4
1−x 2 ;
h)
4
√ 16 + x −
3
√
8+x;
i)
1
√ 2+3x
−
1
√ 2−3x
.
7 Calculer les limites suivantes en se servant d’équivalents :
a) lim
x→
π
2
tan x tan 2x ;
b) lim
x→
1
2
(2x
2
− 3x +1)tan πx ;
c) lim
x→0
ln(cos ax)
ln(cos bx)
;
d) lim
x→0
ln(cos x)
1 − cos2x
;
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