Fonctions d’une variable réelle
Or : n ln
1+
1
2n
∼
1
2
, qui est négligeable devant −
1
2
ln n.
Donc lim
n→+∞
n ln
1+
1
2n
−
1
2
ln n = −∞, et :
lim
n→+∞
f
n +
1
2
= 0
c) De même, pour tout n 3,
1
ln n
< 1, donc E
n +
1
ln n
= n.
f
n +
1
ln n
=
n +
1
ln n
n
n
n+
1
ln n
= e
n ln
n+
1
ln n
−
n+
1
ln n
ln n = e
n ln
1+
1
n ln n
−1
Or ln
1+
1
nln n
∼
1
n ln n
, donc n ln
1+
1
nln n
∼
1
ln n
, qui tend
vers0quand n tend vers + ∞. L’exposant tend donc vers −1e t:
lim
n→+∞
f
n +
1
ln n
= e
−1
Les résultats précédentss ont-ilsc ompatibles avec l’existenced ’une limite
–finie ou infinie –de f en +∞ ?
3) Si la fonction f admettaitune limite (dans R)e n+ ∞ ,les suites
f (n)
,
f (n +
1
2
)
et
f (n +
1
ln n
)
tendraient toutes vers . Comme
ces suites convergent vers des limites différentes, la fonction f n’admet
aucune limite en +∞.
Modifier légèrement l’exemple c).
4) On peut s’inspirer de la troisième limite trouvée, en changeant
1
ln n
en
k
ln n
, où k ∈ R + ;o nobtient :
lim
n→+∞
f
n +
k
ln n
= e
−k
Or e
−k
peut prendre n’importe quelle valeur dans ]0, 1] lorsque k décrit
R + . Comme on adéjà trouvé en b) une suite tendant vers 0, on peut donc
obtenirn’importe quelle limite dans [0, 1].
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