Fonctions d’une variable réelle
Exercice résolu
On considèrelafonction fd éfinie sur l’intervalle I = [1, +∞[ par :
f (x) =
x
E(x)
E(x) x
1 a) Montrer que fe st continue àdroite en tout point de I .
b) Soit pu nentier supérieur ou égal à2.Calculer la limite àgauche de fe np .
fe st-elle continue àgauche en tout point de I?
2 Calculer les limites dessuites
f (u n )
pour :
a) u n = n
;
b) u n = n +
1
2
;
c) u n = n +
1
ln(n)
3 La fonction fa dmet-elle une limite (finie ou infinie) en +∞ ?
4 Démontrer que pourtout a ∈ [0, 1], il existe unesuite (u n ) tendant vers +∞ telleque la suite
f (u n )
converge vers
a.
Conseils
Solution
Pour tout entier p :
lim
x →
<
p
E(x) = p − 1; lim
x →
>
p
E(x) = p.
1) a) La fonction partie entière estcontinue àdroite en tout point, donc
f est continue àdroite sur I , comme composée de fonctions continues à
droite.
b) La limite àgauche de E(x)e npest p − 1, d’où :
lim
x →
<
p
f (x) =
p
p−1
(p − 1) p
La fonction f est continueàgauche en p si et seulement si cette limite est
égaleà f(p), c’est-à-dire à1.Or, si p 2, les entiers p
p−1
et (p − 1)
p
sont de parités différentes, et par conséquent l’égalité
p
p−1
(p − 1) p = 1e st
impossible.C onclusion : f n’est jamais continueàgauche en un point
entier.
2) a) Pour tout n entier : f (n) = 1, donc
lim
n→+∞
f (n) = 1.
b) E
n +
1
2
= n, donc :
f
n +
1
2
=
(n +
1
2 )
n
n
n+
1
2
= e
n ln(n+
1
2 )−(n+
1
2 )lnn
= e
nln n+n ln(1+
1
2n )−(n+
1
2 )lnn
= e
nln(1+
1
2n )−
1
2 ln n
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