Fonctions d’une variable réelle
lim
t→t0
f (t) = l
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
lim
t→t0
Re (f (t)) = Re (l)
lim
t→t0
Im (f (t)) = Im (l)
Pour s’entraîner:ex. 15 et 16
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’une fonction f est continue en un point a ,onpeut:
• utiliser directement la définition ;
• majorer | f (x) − f (a)| en fonction de |x − a| (cf. exercice 3.3) ;
• appliquer les opérations sur les fonctions continues (cf. exercices 3.1, 3.2 et 4) ;
• montrerque f est continue àdroite et àgauche en a( cf. Application 1 et exercice 3).
Pour montrerqu’une fonction f est discontinue en un point a ,onpeut:
• trouver une limite àdroite et une limite àgauche différentes ;
• trouver une limite àdroite et une limite àgauche égales, mais différentes de f (a);
• montrer que f n’a pas de limite finie en a ;
• prouver que f n’est pas bornée au voisinage de a ;
• trouver un ε > 0t el que, pour tout α > 0, il existe x ∈ [a − α, a + α]t el que | f (x) − f (a)| > ε ;
• trouverune suite (u n )q ui converge vers a, alors que ( f (u n )) ne converge pas vers f (a).
Pour calculer une limite ,onpeut:
• essayer d’utiliser les opérations sur les limites (cf. exercice 5) ;
• en cas d’indétermination, transformer l’expression de la fonction afin de «lever l’indétermination »;
• encadrer la fonction par deux fonctions de même limite (cf. Application 2) ;
• utiliser des équivalents (cf. Application 3 et exercice 7).
Pourm ontrer l’existenced ’une solution de l’équation f (x) = 0 ,o ù f est une fonction continue sur un
intervalle I :
• on cherchedeux éléments a et b de I tels que f (a)e tf( b )s oient de signes contraires et on applique le
théorème des valeurs intermédiaires (cf. Application 4 et exercices 10 et 11) ;
• si, de plus, f est strictement monotone, c’est une bijection de I dans f (I ); on obtient l’existence et l’unicité
de la solution (cf. Application 6).
Pour étudierl ac ontinuité d’une fonction de R dans C ,o np eut étudier la continuité de la partie réelle et la
partie imaginaire de cettefonction (cf. exercices 15 et 16).
...................................................................................................................................................................................................
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
281
lim
t→t0
f (t) = l
⇐⇒
⎧
⎨
⎩
lim
t→t0
Re (f (t)) = Re (l)
lim
t→t0
Im (f (t)) = Im (l)
Pour s’entraîner:ex. 15 et 16
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’une fonction f est continue en un point a ,onpeut:
• utiliser directement la définition ;
• majorer | f (x) − f (a)| en fonction de |x − a| (cf. exercice 3.3) ;
• appliquer les opérations sur les fonctions continues (cf. exercices 3.1, 3.2 et 4) ;
• montrerque f est continue àdroite et àgauche en a( cf. Application 1 et exercice 3).
Pour montrerqu’une fonction f est discontinue en un point a ,onpeut:
• trouver une limite àdroite et une limite àgauche différentes ;
• trouver une limite àdroite et une limite àgauche égales, mais différentes de f (a);
• montrer que f n’a pas de limite finie en a ;
• prouver que f n’est pas bornée au voisinage de a ;
• trouver un ε > 0t el que, pour tout α > 0, il existe x ∈ [a − α, a + α]t el que | f (x) − f (a)| > ε ;
• trouverune suite (u n )q ui converge vers a, alors que ( f (u n )) ne converge pas vers f (a).
Pour calculer une limite ,onpeut:
• essayer d’utiliser les opérations sur les limites (cf. exercice 5) ;
• en cas d’indétermination, transformer l’expression de la fonction afin de «lever l’indétermination »;
• encadrer la fonction par deux fonctions de même limite (cf. Application 2) ;
• utiliser des équivalents (cf. Application 3 et exercice 7).
Pourm ontrer l’existenced ’une solution de l’équation f (x) = 0 ,o ù f est une fonction continue sur un
intervalle I :
• on cherchedeux éléments a et b de I tels que f (a)e tf( b )s oient de signes contraires et on applique le
théorème des valeurs intermédiaires (cf. Application 4 et exercices 10 et 11) ;
• si, de plus, f est strictement monotone, c’est une bijection de I dans f (I ); on obtient l’existence et l’unicité
de la solution (cf. Application 6).
Pour étudierl ac ontinuité d’une fonction de R dans C ,o np eut étudier la continuité de la partie réelle et la
partie imaginaire de cettefonction (cf. exercices 15 et 16).
...................................................................................................................................................................................................
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
281