COURS 15
Fonctions d’une variable réelle
7 Fonctions d’unevariable réelle
àvaleurs complexes
7.1 • Continuité et limites
IMPORTANT
L’étude des fonctions de C dans C
(fonctions de la variable complexe) est
beaucoup plus difficile et n’est pasau
programme.
On peut étendre aux fonctions de R dans C toutes les propriétésdes fonctions de
R dans R qui ne font pas référence àlarelation d’ordre de R.
On peut se représenter une telle fonction comme un «mouvement »dans le plan
complexe, c’est-à-dire une courbe paramétrée dans ce plan.
Une fonction f de R dans C définie sur une partie D de R est dite continue en
un point t 0 de D si :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀t ∈ D |t − t 0 | α ⇒| f( t ) − f( t 0 ) |ε
La fonction f est dite uniformément continue sur D si :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀(t, t
) ∈ D
2
|t − t
| α ⇒| f( t ) − f( t
) |ε
IMPORTANT
On dit que f est bornée si |f | est
majorée.
Les résultats suivants restentvalables :
• Toute fonction continue en t 0 est bornée au voisinage de t 0 .
• La somme de deux fonctions continuesest continue.
• Le produit de deux fonctions continues est continu.
• Le quotient de deux fonctions continues est continu en tout point où le
dénominateur ne s’annule pas.
On peut étendre aux fonctions de R dans C les notions de :
• Continuité àdroite, àgauche.
• Limite, limite àdroite, limite àgauche.
• Limite en ±∞.
• Fonction dominée, négligeable, équivalente.
7.2 • Partie réelle et partie imaginaire
d’une fonction de R dans C
Théorème 14
Une fonction de R dans C est continue si et seulement si sa partie réelle et sa
partie imaginaire sont continues.
Démonstration
Soit f une fonction de R dans C définie sur une partie D de R.P our tout
t ∈ D, posons f (t) = x(t)+iy(t)a vec( x ( t ) , y ( t )) ∈ R
2
.
1) Si les fonctions réelles x et y sont continues, la somme x + iy estcontinue.
2) Si la fonction complexe f est continue:
∀t 0 ∈D ∀ε>0 ∃α>0 ∀t∈D
→| ( x ( t ) − x ( t 0 )) + i(y(t) − y(t 0 ))| ε
Or |x(t) − x(t 0 )| |(x(t) − x(t 0 )) + i(y(t) − y(t 0 ))| , donc x estcontinue.
et |y(t) − y(t 0 )| |(x(t) − x(t 0 )) + i(y(t) − y(t 0 ))| , donc y estcontinue.
IMPORTANT
On en déduit que si f est continue,
f et |f | sontcontinues.
De même,u ne fonction complexe f possèdeu ne limite en un point t 0 si et
seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire possèdent des limites en t 0 et :
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