Fonctions d’une variable réelle
COURS
15
Exemples :
I
f
f (I )
f
−1
R +
x → x
n
R +
y → y
1
n
R
x → a
x
(a > 0eta =1)
R
∗
+
y
→ log a y
(a > 0eta =1)
−
π
2
,
π
2
x
→ sin x
[−1, 1]
y
→ Arcsin y
[0, π]
x
→ cos x
[−1, 1]
y
→ Arccos y
−
π
2
,
π
2
x
→ tan x
R
y
→ Arctan y
O
y
x
Mx ,y
()
M' yx
(,)
C f
1
C f
Doc. 9 Graphesde f et de f
−1 .
Représentation graphiquede f
− 1
(Doc. 9)
Soit C f la courbe représentative de f et C f −1 celle de f
−1
.
y = f (x)
⇐⇒
x = f
− 1
( y )
Donc :
(x, y) ∈ C f
⇐⇒
( y , x ) ∈ C f − 1
C f − 1 est l’image de C f par la symétrie par rapportàla droite d’équation( y=x )
parallèlement àladroite d’équation (y = −x).
APPLICATION 6
Exempledefonction continue strictement monotone sur un intervalle
Soit fl afonction définie par f (x) =
x
1+|x|
. Démontrer que fe st uneb ijection de R dans un intervalle
que l’on précisera. Déterminer sa bijection réciproque.
f est continue sur R, car composée de fonctions
continues.
On remarque qu’elle est impaire ;ilsuffit donc d’étudier son sens de variation sur R + .
∀(x 1 , x 2 ) ∈ R
2
+
f (x 1 ) − f (x 2 ) =
x 1
1+x 1
−
x 2
1+x 2
=
x 1 −x 2
(1 + x 1 )(1 + x 2 )
Donc, x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ):
f est strictement croissante sur R + . Comme elle est
impaire, elle est strictement croissante sur R tout entier.
D’aprèsl et héorème 13, f est donc une bijection
de R dansl ’intervalle ]lim
−∞
f , lim
+∞
f [, c’est-à-dire
] − 1, 1[.
Soit y ∈ ] − 1, 1[ ;r ésolvons l’équation f (x) = y
dans R :
x
1+|x|
=y = ⇒ xet y de même signe
• si y 0,
x
1+x
=y ⇐⇒ x =
y
1 − y
• si y 0,
x
1 − x
= y ⇐⇒ x =
y
1+y
En définitive :
∀y ∈] − 1, 1[ f (x) = y
⇐⇒
x =
y
1 −|y|
f
− 1
est donc l’application :
] − 1, 1[ →
R
y
→
y
1 −|y|
Pour s’entraîner :exercices 13 et 14
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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COURS
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Exemples :
I
f
f (I )
f
−1
R +
x → x
n
R +
y → y
1
n
R
x → a
x
(a > 0eta =1)
R
∗
+
y
→ log a y
(a > 0eta =1)
−
π
2
,
π
2
x
→ sin x
[−1, 1]
y
→ Arcsin y
[0, π]
x
→ cos x
[−1, 1]
y
→ Arccos y
−
π
2
,
π
2
x
→ tan x
R
y
→ Arctan y
O
y
x
Mx ,y
()
M' yx
(,)
C f
1
C f
Doc. 9 Graphesde f et de f
−1 .
Représentation graphiquede f
− 1
(Doc. 9)
Soit C f la courbe représentative de f et C f −1 celle de f
−1
.
y = f (x)
⇐⇒
x = f
− 1
( y )
Donc :
(x, y) ∈ C f
⇐⇒
( y , x ) ∈ C f − 1
C f − 1 est l’image de C f par la symétrie par rapportàla droite d’équation( y=x )
parallèlement àladroite d’équation (y = −x).
APPLICATION 6
Exempledefonction continue strictement monotone sur un intervalle
Soit fl afonction définie par f (x) =
x
1+|x|
. Démontrer que fe st uneb ijection de R dans un intervalle
que l’on précisera. Déterminer sa bijection réciproque.
f est continue sur R, car composée de fonctions
continues.
On remarque qu’elle est impaire ;ilsuffit donc d’étudier son sens de variation sur R + .
∀(x 1 , x 2 ) ∈ R
2
+
f (x 1 ) − f (x 2 ) =
x 1
1+x 1
−
x 2
1+x 2
=
x 1 −x 2
(1 + x 1 )(1 + x 2 )
Donc, x 1 < x 2 =⇒ f (x 1 ) < f (x 2 ):
f est strictement croissante sur R + . Comme elle est
impaire, elle est strictement croissante sur R tout entier.
D’aprèsl et héorème 13, f est donc une bijection
de R dansl ’intervalle ]lim
−∞
f , lim
+∞
f [, c’est-à-dire
] − 1, 1[.
Soit y ∈ ] − 1, 1[ ;r ésolvons l’équation f (x) = y
dans R :
x
1+|x|
=y = ⇒ xet y de même signe
• si y 0,
x
1+x
=y ⇐⇒ x =
y
1 − y
• si y 0,
x
1 − x
= y ⇐⇒ x =
y
1+y
En définitive :
∀y ∈] − 1, 1[ f (x) = y
⇐⇒
x =
y
1 −|y|
f
− 1
est donc l’application :
] − 1, 1[ →
R
y
→
y
1 −|y|
Pour s’entraîner :exercices 13 et 14
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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