COURS 15
Fonctions d’une variable réelle
0
x
y
M
m
b
a
d
c
f (b)
f (a)
Doc. 7 Fonction continue sur un
segment.
Cependant l’imagepar une fonction continue d’un intervalle fermé et bornésera
toujours un intervalle fermé et borné:
Théorème 12
Une fonction continue suru ns egment [a, b]e st bornée et atteint ses bornes.
L’imagede[ a , b ]e st donc un segment :
f
[a, b]
= [m, M ]o ùm = inf
[a,b]
f et M = sup
[a,b]
f
Si f n’est pasmonotone, sesbornes
sur[ a , b ]s ont en général différentes
de f (a)e tf( b ) .
La preuve de ce théorème dépasse le cadre du programme de PCSI. Aussi nous
l’admettronssans démonstration.
Pour s’entraîner:ex. 12
6.3 • Fonction continue strictement monotone
sur un intervalle
IMPORTANT
C’estlethéorème quenous avons utiliséa uc hapitre 2p our construire les
fonctions circulaires réciproques et hyperboliques réciproques.
Théorème 13
Soit f unefonction continue strictement monotone sur un intervalle I .
1) f (I )e st un intervalle, dont les bornes sont les limites de f aux bornesde I.
2) f est une bijection de I dans f (I ).
3) La bijection réciproque f
−1
est continuesur f (I )e tstrictement monotone
de même sens que f .
Démonstration
Supposons, pour fixer les idées, que f soit strictement croissante, et posons
I = ]a, b[a vec( a , b )∈R
2
(on pourra généraliser sans problème aux autres cas
d’intervalles).
1) ∀x ∈ ]a, b[l im
a
f < f (x) < lim
b
f donc f (I ) ⊂ ]lim
a
f , lim
b
f [.
Réciproquement,s oit y ∈ ]lim
a
f , lim
b
f [. y n’étantn iu nm inorant ni un
majorant de f (I ), il existe (x 1 , x 2 ) ∈ I
2
f (x 1 ) < y < f (x 2 ). D’aprèsl e
théorème des valeurs intermédiaires, il existe x 0 ∈ If ( x 0 ) = y ,d’où y ∈ f (I ).
En définitive, f (I ) = ]lim
a
f , lim
b
f [.
2) Par définition, f est une surjectionde I dans f (I ).
Montrons qu’elleest injective. Soit (x, x
) ∈ I
2
telque f (x) = f (x
).
• Si x < x
, f (x) < f (x
): contradiction.
• Si x > x
, f (x) > f (x
): contradiction.
Donc x = x
. f estbijective.
3) Soit (y, y
) ∈ f (I )
2
y < y
. Posons x = f
−1
(y)e tx
=f
− 1
( y
) .
Si x x
f (x) f (x
), c’est-à-dire y y
:c ontradiction. Donc x < x
:
f
−1
eststrictement croissante.
0
x
y
x 0 –
y 1
y 2
x 0
y 0
ε
ε
β
β
x 0 +
Doc. 8 Continuité de f
−1 .
Montrons qu’elle est continue. Choisissons encore I = ]a, b[ . Soit y 0 ∈ f (I ).
Posons x 0 = f
−1
(y 0 ). Soit ε > 0t el que x 0 − ε ∈ I et x 0 + ε ∈ I . Posons
y 1 = f (x 0 −ε)e ty 2 =f( x 0 + ε ) . f étant strictement croissante : y 1 < y 0 < y 2 .
∀y ∈ [ y 1 , y 2 ] f
−1
(y 1 ) f
−1
(y) f
−1
(y 2 ), c’est-à-dire
x 0 − ε f
−1
(y) x 0 + ε
Il existe donc β > 0t el que
|y − y 0 | β ⇒| f
− 1
( y ) − f
− 1
( y 0 ) | ε .
Par conséquent, f
−1
est continue en y 0 (Doc. 8).
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Fonctions d’une variable réelle
0
x
y
M
m
b
a
d
c
f (b)
f (a)
Doc. 7 Fonction continue sur un
segment.
Cependant l’imagepar une fonction continue d’un intervalle fermé et bornésera
toujours un intervalle fermé et borné:
Théorème 12
Une fonction continue suru ns egment [a, b]e st bornée et atteint ses bornes.
L’imagede[ a , b ]e st donc un segment :
f
[a, b]
= [m, M ]o ùm = inf
[a,b]
f et M = sup
[a,b]
f
Si f n’est pasmonotone, sesbornes
sur[ a , b ]s ont en général différentes
de f (a)e tf( b ) .
La preuve de ce théorème dépasse le cadre du programme de PCSI. Aussi nous
l’admettronssans démonstration.
Pour s’entraîner:ex. 12
6.3 • Fonction continue strictement monotone
sur un intervalle
IMPORTANT
C’estlethéorème quenous avons utiliséa uc hapitre 2p our construire les
fonctions circulaires réciproques et hyperboliques réciproques.
Théorème 13
Soit f unefonction continue strictement monotone sur un intervalle I .
1) f (I )e st un intervalle, dont les bornes sont les limites de f aux bornesde I.
2) f est une bijection de I dans f (I ).
3) La bijection réciproque f
−1
est continuesur f (I )e tstrictement monotone
de même sens que f .
Démonstration
Supposons, pour fixer les idées, que f soit strictement croissante, et posons
I = ]a, b[a vec( a , b )∈R
2
(on pourra généraliser sans problème aux autres cas
d’intervalles).
1) ∀x ∈ ]a, b[l im
a
f < f (x) < lim
b
f donc f (I ) ⊂ ]lim
a
f , lim
b
f [.
Réciproquement,s oit y ∈ ]lim
a
f , lim
b
f [. y n’étantn iu nm inorant ni un
majorant de f (I ), il existe (x 1 , x 2 ) ∈ I
2
f (x 1 ) < y < f (x 2 ). D’aprèsl e
théorème des valeurs intermédiaires, il existe x 0 ∈ If ( x 0 ) = y ,d’où y ∈ f (I ).
En définitive, f (I ) = ]lim
a
f , lim
b
f [.
2) Par définition, f est une surjectionde I dans f (I ).
Montrons qu’elleest injective. Soit (x, x
) ∈ I
2
telque f (x) = f (x
).
• Si x < x
, f (x) < f (x
): contradiction.
• Si x > x
, f (x) > f (x
): contradiction.
Donc x = x
. f estbijective.
3) Soit (y, y
) ∈ f (I )
2
y < y
. Posons x = f
−1
(y)e tx
=f
− 1
( y
) .
Si x x
f (x) f (x
), c’est-à-dire y y
:c ontradiction. Donc x < x
:
f
−1
eststrictement croissante.
0
x
y
x 0 –
y 1
y 2
x 0
y 0
ε
ε
β
β
x 0 +
Doc. 8 Continuité de f
−1 .
Montrons qu’elle est continue. Choisissons encore I = ]a, b[ . Soit y 0 ∈ f (I ).
Posons x 0 = f
−1
(y 0 ). Soit ε > 0t el que x 0 − ε ∈ I et x 0 + ε ∈ I . Posons
y 1 = f (x 0 −ε)e ty 2 =f( x 0 + ε ) . f étant strictement croissante : y 1 < y 0 < y 2 .
∀y ∈ [ y 1 , y 2 ] f
−1
(y 1 ) f
−1
(y) f
−1
(y 2 ), c’est-à-dire
x 0 − ε f
−1
(y) x 0 + ε
Il existe donc β > 0t el que
|y − y 0 | β ⇒| f
− 1
( y ) − f
− 1
( y 0 ) | ε .
Par conséquent, f
−1
est continue en y 0 (Doc. 8).
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