Fonctions d’une variable réelle
COURS
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En posant m =
a + b
2
, il existe unes olution entre
a et m si f (m)e st du signe de f (b), ou entre m
et b si f (m)e st du signe de f (a). On pourra donc
recommencerenremplaçant a ou b par m suivant
le signede f(m). On réitérera ce procédé jusqu’à ce
que l’amplitude de l’encadrementsoit aussi petite que
l’onveut.
Programmons cet algorithme surl ac alculatrice TI92/Voyage 200 :
dichotom(y,x,a,b,eps)
y est l’expressiondef(x),xle nom de la variable,
a et b les bornes initiales de l’intervalle,
eps la précision souhaitée.
Func
Localt ,ta,tb
t estune variable intermédiaire, ta et tb lesbornes
qui évoluent au fur et àmesure de l’algorithme.
round(a)→ta
initialisation de ta en modeFLOAT
round(b)→tb
a→t
While abs(tb-ta)>eps
tant que |tb − ta| > ε
(ta+tb)/2→t
on place
ta + tb
2
danslavariable t
If (y|x=t)*(y|x=ta)>0 Then si f (t)est du même signe que f (ta)
t→ta
on remplace ta par t
Else
sinon (i.e. si f (t)est du même signe que f (tb))
t→tb
on remplace tb par t
EndIf
EndWhile
t
renvoyer la dernière valeur de t.
EndFunc
Exemple:L’équation cos x = x admet une solution,
ici unique, dans l’intervalle[ 0 ,
π
2
];
cherchons une valeur approchée de cette solution à
10
−3
près (voir écran ci-dessus).
6.2 • Imaged’un intervalle par une fonction continue
Corollaire 11.1
L’imaged’un intervalle par une fonction continue estunintervalle.
Démonstration
Soit I un intervalle et f une fonctioncontinue sur I . Dèsque f (I )c ontient
deux éléments c et d, il contient tous les éléments intermédiaires :par définition,
f (I )e st un intervalle.
Exemples :f ( x ) =
1
x
f (]0,1]) = [1, +∞[
f (x) = sin xf (]0,2π[)=[−1,1]
On voit, sur ces exemples, que le caractère ouvert, fermé, borné de l’intervalle n’est
pas toujours conservé.
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