COURS 15
Fonctions d’une variable réelle
O
x
y
y
d
c
b
a
E
x 0
Doc. 5 Borne supérieure de
l’ensemble E .
Posons E = {x ∈ [a, b] , f (x) y}. E est nonv ide, car a ∈ E ; E est
majoré par b, donc E admet une borne supérieure x 0 (Doc. 5).
Il existe une suite (a n )d ’éléments de E quiconverge vers x 0 . Comme f est
continue en x 0 , la suite f (a n )c onvergevers f (x 0 ), et comme pour tout n ∈ N :
f (a n ) y, on aaussi f (x 0 ) y.
Puisque f (b) > y, on ests ûr que x 0
= b. Or, pour tout x ∈ ]x 0 , b[:
f ( x ) > y ;o nendéduit que la limite àdroite de f en x 0 , qui n’est autre que
f (x 0 )p uisque f est continue, est supérieure ou égale à y : f (x 0 ) y.
En définitive :
f (x 0 ) = y.
APPLICATION 4
Démonstrationd’existence par le théorème des valeurs intermédiaires
Un randonneur parcourt 20 km en 5h.Montrerqu’il
existe un intervalle d’uneh eure pendant lequel il af ait
exactement 4km.
Il prétend que, sur n’importe quel intervalle de deux
heures, il aparcouru 10 km .Est-ce possible ?
Soit f la fonction définiesur [0, 5] représentant la
distance parcourue en fonctiondutemps.
La distance parcourue durant l’intervalle de temps
[t, t +1]e st g(t) = f (t +1)−f(t). La fonction g
est continue sur [0, 4]. Comme g(0) + g(1) + g(2) +
g(3) + g(4) = 20, l’une au moins de ces valeurs est
inférieure ou égale à4,etl’une au moins est supérieure
ou égale à4.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe
donc t 0 ∈ [0, 4] tel que g(t 0 ) = 4.
On ne peut pas refaire le même raisonnementavec une
période de deux heures, car elle n’est pas contenue un
nombre entier de fois dans l’intervalle de 5h.
L’affirmation du randonneur est possible :i lac ommencép ar se reposer une heure, il am arché 10 km
pendant une heure, il afait une nouvelle pause d’une
heure, puis àn ouveau 10 km en une heure et il est
arrivé une heure en avance (Doc. 6)...
f(t)
t
10
0
20
5
4
3
2
1
Doc. 6
Pour s’entraîner :ex. 10 et 11
APPLICATION 5
Algorithme de résolution d’uneéquation par dichotomie
Soit f unefonction continue sur un intervalle I ;s i
on connaît deux points a et b de I tels que f (a)e t
f( b )s ont de signes contraires, le théorème des valeurs
intermédiaires permet d’affirmer l’existence d’un réel
α (pas nécessairement unique) compris entre a et b
tel que f (α) = 0.
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Fonctions d’une variable réelle
O
x
y
y
d
c
b
a
E
x 0
Doc. 5 Borne supérieure de
l’ensemble E .
Posons E = {x ∈ [a, b] , f (x) y}. E est nonv ide, car a ∈ E ; E est
majoré par b, donc E admet une borne supérieure x 0 (Doc. 5).
Il existe une suite (a n )d ’éléments de E quiconverge vers x 0 . Comme f est
continue en x 0 , la suite f (a n )c onvergevers f (x 0 ), et comme pour tout n ∈ N :
f (a n ) y, on aaussi f (x 0 ) y.
Puisque f (b) > y, on ests ûr que x 0
= b. Or, pour tout x ∈ ]x 0 , b[:
f ( x ) > y ;o nendéduit que la limite àdroite de f en x 0 , qui n’est autre que
f (x 0 )p uisque f est continue, est supérieure ou égale à y : f (x 0 ) y.
En définitive :
f (x 0 ) = y.
APPLICATION 4
Démonstrationd’existence par le théorème des valeurs intermédiaires
Un randonneur parcourt 20 km en 5h.Montrerqu’il
existe un intervalle d’uneh eure pendant lequel il af ait
exactement 4km.
Il prétend que, sur n’importe quel intervalle de deux
heures, il aparcouru 10 km .Est-ce possible ?
Soit f la fonction définiesur [0, 5] représentant la
distance parcourue en fonctiondutemps.
La distance parcourue durant l’intervalle de temps
[t, t +1]e st g(t) = f (t +1)−f(t). La fonction g
est continue sur [0, 4]. Comme g(0) + g(1) + g(2) +
g(3) + g(4) = 20, l’une au moins de ces valeurs est
inférieure ou égale à4,etl’une au moins est supérieure
ou égale à4.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe
donc t 0 ∈ [0, 4] tel que g(t 0 ) = 4.
On ne peut pas refaire le même raisonnementavec une
période de deux heures, car elle n’est pas contenue un
nombre entier de fois dans l’intervalle de 5h.
L’affirmation du randonneur est possible :i lac ommencép ar se reposer une heure, il am arché 10 km
pendant une heure, il afait une nouvelle pause d’une
heure, puis àn ouveau 10 km en une heure et il est
arrivé une heure en avance (Doc. 6)...
f(t)
t
10
0
20
5
4
3
2
1
Doc. 6
Pour s’entraîner :ex. 10 et 11
APPLICATION 5
Algorithme de résolution d’uneéquation par dichotomie
Soit f unefonction continue sur un intervalle I ;s i
on connaît deux points a et b de I tels que f (a)e t
f( b )s ont de signes contraires, le théorème des valeurs
intermédiaires permet d’affirmer l’existence d’un réel
α (pas nécessairement unique) compris entre a et b
tel que f (α) = 0.
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