Fonctions d’une variable réelle
COURS
15
• En particulier :
1
1+x =
(0)
1 − x + o(x)
Cette écritures ’appelle développementl imité au voisinaged e a . Cette notion
sera étudiée plus en détail dans le chapitre 19.
APPLICATION 3
Calcul d’unelimite àl’aide de développements limités
Calculer :
lim
x→+∞
a
1
x + b
1
x
2
x
avec (a, b) ∈ ]1, +∞[
2
.
a
1
x + b
1
x
2
x
= e
x ln
a
1
x +b
1
x
2
Or :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a
1
x = e
1
x ln a
= 1+
1
x
ln a + o
1
x
b
1
x = e
1
x ln b
= 1+
1
x
ln b + o
1
x
D’où:
a
1
x +b
1
x
2
=1+
1
x
ln a +lnb
2
+o
1
x
=1+
1
x
ln
√ ab + o
1
x
Comme
1
x
ln
√ ab tend vers 0:
ln
a
1
x + b
1
x
2
∼
1
x
ln
√
ab (car
√ ab > 1)
Donc :
x ln
a
1
x + b
1
x
2
∼ ln
√ ab
Et :l im
x→+∞
a
1
x + b
1
x
2
x
=
√
ab
Pour s’entraîner:ex. 7
6 Fonctionscontinues
sur un intervalle
6.1 • Théorème des valeursintermédiaires
IMPORTANT
Ce théorème n’admetp as de réciproque :i le xiste des fonctions discontinues quipossèdent «lapropriété
des valeursi ntermédiaires ». Il en est
ainsi, pare xemple, de toute fonction
dérivée, qui n’est pourtant pasnécessairement continue.
Théorème 11
Soit f unefonction continue sur un intervalle I .
Si f prend sur I deuxvaleurs c et d, elle prend sur I toute valeur intermédiaire entre c et d.
Démonstration
Soit (a, b) ∈ I
2
telque f (a) = c et f (b) = d. Supposons, pour fixer les idées,
que a < b et c < d. Soit y ∈ ]c, d[; montrons que y possèdeunantécédent
dans [a, b].
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