COURS 15
Fonctions d’une variable réelle
Exemple:
x
2
sin
1
x =
(0)
o(x)
Comme pourles suites, on peut montrer que :
∀(α, β) ∈ (R
∗
+ )
2
| ln x|
α =
(0)
o
1
x β
∀(α, β, γ) ∈ (R
∗
+ )
3
(ln x)
α =
(+∞)
o(x
β
)e tx
β =
(+∞)
o(e
γx
)
5.3 • Fonctions équivalentes
IMPORTANT
Si f ne s’annule passur I \{a}, ceci
revientàdire quelequotient
g
f
admet pour limite 1e na .
Soit I un intervalle et a ∈ R, élément ou extrémité de I . Soit f une fonction
définies ur I . On dit qu’une fonction g est équivalente àl af onction f au
voisinage de a si g estl ep roduit de f par une fonction tendant vers 1a u
point a :
∀x ∈ Ig ( x ) = f ( x ) h ( x )e tl im
x→a
h(x) = 1
Notation :
On écrit
g(x) ∼
(a)
f (x)( lire «équivaut à f (x)a uvoisinage de a »).
Exemples àretenir :
• sin x ∼
(0)
x ;
• 1 − cos x ∼
(0)
x
2
2
;
• ln(1+x) ∼
(0)
x ;
• e
x
− 1 ∼
(0)
x ;
• si α
= 0, (1 + x)
α
− 1 ∼
(0)
αx.
Pour s’entraîner :ex. 6
Remarques :
1) Si deux fonctionssont équivalentes au voisinage de a, elles sont de même signeau
voisinage de a.
2) L’équivalence est compatible avec la multiplication, mais pasavec l’addition :dans
un calcul de limite on peut remplacer unefonction par unefonction équivalente dans
un produit ou un quotient, mais jamais dans unesomme ou une différence.
Comme pour les suites, on peut démontrer que :
Théorème 10
Soit f et g deux fonctions définies au voisinage de a.
f (x) ∼
(a)
g(x)
⇐⇒
f ( x ) − g ( x ) =
( a )
o ( g ( x ))
Ainsi, leséquivalences précédentes peuvent s’exprimer sous la forme :
• sin x =
(0)
x + o(x);
• cos x =
(0)
1 −
x
2
2
+ o(x
2
);
• ln(1 + x) =
(0)
x + o(x);
• e
x =
(0)
1+x+o(x);
• (1 + x)
α =
(0)
1+αx+o(x).
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