Fonctions d’une variable réelle
COURS
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Ce théorème s’étendsans difficulté aux cas où a, b et c sont éléments de R.
Corollaire9.1
La composée de deuxf onctions continues en tout point est continue en tout
point.
Démonstration
C’estlecas où lim
a
g = g(a)e tl im
g(a)
f = f
g(a)
, d’où lim
a
f ◦ g = f ◦g (a).
Corollaire9.2
Si (x n )e st une suite qui converge vers l, et f une fonction continue en l,
alors la suite
f (x n )
converge vers f (l).
Démonstration
C’est le cas où la fonction g est définie sur N ;o np rend a = +∞, b = l et
c = f (l).
Pour s’entraîner :ex. 9
5 Comparaison localedes fonctions
5.1 • Fonction dominéepar une autre
IMPORTANT
Si f ne s’annule pas sur I \{a}, il
est équivalent de dire quelequotient
g
f
est borné au voisinage de a.
Soit I un intervalle et a ∈ R, élément ou extrémité de I . Soit f une fonction
définies ur I . On dit qu’une fonction g est dominée par la fonction f au
voisinage de a si g est le produit de f par une fonction bornée au voisinage
de a :
∀x ∈ Ig ( x ) = f ( x ) h ( x )
et
∃α > 0 ∃M ∈ R ∀x ∈ I ∩ ]a − α, a + α[ |h(x)| M
Notation : On écrit g(x) =
(a)
O( f (x)) (lire «grand Ode f(x)a uvoisinage de
a »).
Exemples :x sin
1
x =
(0)
O(x)
E(x)
x − 1
=
(1)
O
1
x − 1
5.2 • Fonction négligeable devant une autre
IMPORTANT
Si f ne s’annule passur I \{a}, ceci
revientàdire quelequotient
g
f
admet pour limite 0e na .
Soit I un intervalle et a ∈ R, élément ou extrémité de I . Soit f une fonction
définies ur I . On dit qu’une fonction g est négligeable devant la fonction f
au voisinage de a si g est le produit de f par une fonction tendant vers 0au
point a :
∀x ∈ Ig ( x ) = f ( x ) h ( x )e tl im
x→a
h(x) = 0
Notation :
On écrit
g(x) =
(a)
o( f (x))
(lire«petit ode f(x)a uvoisinage de a »).
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