COURS 15
Fonctions d’une variable réelle
IMPORTANT
Ce théorème est appelé «théorème
des gendarmes », ou plus sérieusement
«théorème d’encadrement ».
Théorème 8
Soit f , g et h trois fonctions telles qu’au voisinage de a :
f (x) g(x) h(x)
Si f et h admettent une même limite l en a, alors g admet aussi pour limite
l en a.
De même, soit f et g deux fonctions telles qu’au voisinage de a ∈ R :
f (x) g(x).
Si f tend vers +∞ en a, il en est de même en g ;s igtend vers −∞ en a, il
en est de même en f .
APPLICATION 2
Calcul d’une limite par encadrement
Calculer lim
x→0
xE
1
x
, en justifiant son existence.
∀x ∈ R
∗
1
x
− 1 < E
1
x
1
x
Pour x > 0 ,
1 − x < xE
1
x
1;
donc il existe une limite àdroite :
lim
x→0+
xE
1
x
=1
Pour x < 0 ,
1 xE
1
x
<1−x;
donc il existe une limite àgauche :
lim
x→0−
xE
1
x
=1
En définitive :
lim
x→0
xE
1
x
=1.
4.4• Limite de la composée de deux fonctions
Théorème 9
Soit f et g deux fonctions définies respectivement sur les intervalles I (sauf
peut-être en b)e tJ (sauf peut-être en a)t els que g(J ) ⊂ I .
Si lim
a
g = b et lim
b
f = c, alors lim
a
f ◦ g = c
Démonstration
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ I |x − b| α ⇒| f ( x ) − c | ε
∀ α > 0 ∃ β > 0 ∀ t ∈ J | t − a | β⇒| g ( t ) − b | α
Or, pour tout t ∈ J , g(t) ∈ I , donc :
∀ε > 0 ∃β > 0 ∀t ∈ J |t − a| β ⇒| f
g ( t )
− c | ε
ce qui prouve bien que
lim
a
f ◦ g = c.
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