Fonctions d’une variable réelle
COURS
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4.2 • Limites infinies
Les tableaux résumant les différents cas de limites de sommes, de produits, de
quotients faisanti ntervenir des limites infinies, que nous avons vus àpropos des
suites,restent valables pour les limites de fonctions en un point a ∈ R.
4.1 • Sommes
lim
x→a
f (x)
l
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞ −∞ +∞
lim
x→a
g(x)
l
l minorée l majorée +∞ −∞ −∞
lim
x→a
f (x)+g(x)
l+l
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞ −∞ ?
4.2• Produits
Pour simplifier, on n’étudiera que des fonctions positives.
Calcul de limitesavec la TI-92/Voyage 200.
lim
x→a
f (x)
l
+∞
+∞
+∞ +∞
lim
x→a
g(x)
l
l
> 0 minorant
> 0
0 +∞
lim
x→a
f (x)g(x) ll
+∞
+∞
? +∞
4.3• Quotients
On ne considère également que des fonctions positives.
lim
x→a
f (x)
l
l > 0 minorant
> 0
0
0 +∞
+∞
+∞ majorée
lim
x→a
g(x) l
> 0
0
0
minorant
> 0
0 l
majorée +∞
+∞
lim
x→a
f (x)
g(x)
l
l
+∞
+∞
0
? +∞
+∞
?
0
Pours’entraîner :ex. 5
4.3 • Limitesetinégalités
IMPORTANT
On dit qu’on peut«passer àl al imite »dans une inégalité. Attention :
ce passage àlalimite élargit l’inégalité :
mêmes i ∀ x ∈Df ( x ) < g ( x ) ,la
conclusionest une inégalité large.
Toujours en parallèle avec l’étudedes suites, rappelons :
Théorème 7
Soit f et g deux fonctions admettantune limite (finie ou non) en a ∈ R.
Si, au voisinage de a, ∀x ∈ Df(x)g(x), alors lim
x→a
f (x) lim
x→a
g(x)
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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