COURS 15
Fonctions d’une variable réelle
4 Opérations sur les limites
4.1 • Limitesfinies
IMPORTANT
L’ensemble desfonctions de limite 0
en a est un espace vectorielsur R.
Commepour les suites, on démontre successivement que :
Théorème 4
La somme de deux fonctions admettant pour limite 0e na∈Radmet pour
limite 0e na .
Théorème 5
Le produit d’une fonction admettant pour limite 0e na∈Ret d’une fonction
bornée admet pour limite 0e na .
Théorème 6
1) Si f et g admettent des limites finies en a ∈ R, f + g admet une limite
finie en a et :
lim
x→a
( f + g)(x) = lim
x→a
f (x)+lim
x→a
g(x)
2) Si f et g admettent des limites finies en a ∈ R, fg admet une limite
finie en a et :
lim
x→a
( fg )(x) = lim
x→a
f (x)lim
x→a
g(x)
3) Si f et g admettent des limites finies en a ∈ R, la limite de g étant non
nulle, f /g admet une limite finie en a et :
lim
x→a
f
g
(x) =
lim
x→a
f (x)
lim
x→a
g(x)
IMPORTANT
Il ests ouvent pratique de se ramener
àune limite en 0e nposant
x = a + h.
lim
x→a
f (x) = lim
h→0
f (a + h).
Par exemple :
lim
x→
π
3
2cos x − 1
x −
π
3
= lim
h→0
2cos
π
3
+ h
− 1
h
= lim
h→0
2
1
2
cos h −
√ 3
2
sin h
− 1
h
= lim
h→0
cos h − 1 −
√ 3sin h
h
= −
√ 3
(Adapter lesdémonstrations faites pour les suites au chapitre précédent.)
Corollaire6.1
La somme, le produit,lequotient de deux fonctions continues est continu partout
où il est défini.
Il s’ensuit que l’ensemble des fonctions continues sur une partie D de R estun
sous-espace vectoriel et un sous-anneau de R
D
, notés C (D, R), ou C (D)s ’il
n’y apas d’ambiguïté.
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