Fonctions d’une variable réelle
COURS
15
3.3 • Extension de la notion de limite
On peut étendreladéfinition de lim
x→a
f (x) = l aux cas où l appartient à R :
lim
x→a
f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ A ∈ R ∃ α > 0 ∀ x ∈ D | x − a | α ⇒ f ( x ) A
lim
x→a
f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ A ∈ R ∃ α > 0 ∀ x ∈ D | x − a | α ⇒ f ( x ) A
De même, si f est définie sur un intervalle I non majoré, on ditqu’elle admet
une limite en +∞ si :
lim
x→+∞
f (x) = l ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ A ∈ R ∀ x ∈ IxA⇒|f(x)−l|ε
lim
x→+∞
f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ A ∈ R ∃ B ∈ R ∀ x ∈ IxB⇒f( x )A
Le lecteur estinvité àécrire de la même façon les définitions des cas :
lim
x→+∞
f (x) = −∞ ;l im
x→−∞
f (x) = l ;l im
x→−∞
f (x) = +∞ ;l im
x→−∞
f (x) = −∞
3.4 • Casdes fonctions monotones
Comme les suites monotones, les fonctions monotones ont un comportement très
simple du point de vue des limites :
Théorème 3
Soit f une fonctioncroissante sur l’intervalle [a, b[.
• Ou bien f est bornée sur [a, b[ , et lim
x→b
f (x) = sup
x∈[a,b[
f (x).
• Ou bien f n’estpas bornée sur [a, b[ , et lim
x→b
f (x) = +∞.
IMPORTANT
On montre de même qu’une fonctionc roissante sur] a , b ]a dmet une
limite,finie ou infinie, en a. Le résultat s’étend bien sûraux fonctions décroissantes. Autrement dit, toute fonction monotone sur un intervalle admet une limite àd roite et une limite
àg auche, finies ou infinies, en tout
point.
Démonstration
1) Si f est bornée, elle admet une borne supérieure M sur [a, b[. Soit ε > 0,
M − ε n’estpas un majorant de f ;i lexistedonc x 0 ∈ [a, b[t el que
M − ε < f (x 0 ) M
Comme f est croissante:
∀x∈[x 0 ,b[ M−ε
lim
x→b
f (x) = M
2) Supposons f nonbornée. Soit A un réel quelconque. A n’est pas un majorant
de f , il existe donc x 0 ∈ [a, b[t el que f (x 0 ) > A. Comme f est croissante:
∀x∈[x 0 ,b[ f(x)f(x 0 )>A
ce qui signifie que :
lim
x→b
f (x) = +∞
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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3.3 • Extension de la notion de limite
On peut étendreladéfinition de lim
x→a
f (x) = l aux cas où l appartient à R :
lim
x→a
f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ A ∈ R ∃ α > 0 ∀ x ∈ D | x − a | α ⇒ f ( x ) A
lim
x→a
f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀ A ∈ R ∃ α > 0 ∀ x ∈ D | x − a | α ⇒ f ( x ) A
De même, si f est définie sur un intervalle I non majoré, on ditqu’elle admet
une limite en +∞ si :
lim
x→+∞
f (x) = l ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ A ∈ R ∀ x ∈ IxA⇒|f(x)−l|ε
lim
x→+∞
f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀ A ∈ R ∃ B ∈ R ∀ x ∈ IxB⇒f( x )A
Le lecteur estinvité àécrire de la même façon les définitions des cas :
lim
x→+∞
f (x) = −∞ ;l im
x→−∞
f (x) = l ;l im
x→−∞
f (x) = +∞ ;l im
x→−∞
f (x) = −∞
3.4 • Casdes fonctions monotones
Comme les suites monotones, les fonctions monotones ont un comportement très
simple du point de vue des limites :
Théorème 3
Soit f une fonctioncroissante sur l’intervalle [a, b[.
• Ou bien f est bornée sur [a, b[ , et lim
x→b
f (x) = sup
x∈[a,b[
f (x).
• Ou bien f n’estpas bornée sur [a, b[ , et lim
x→b
f (x) = +∞.
IMPORTANT
On montre de même qu’une fonctionc roissante sur] a , b ]a dmet une
limite,finie ou infinie, en a. Le résultat s’étend bien sûraux fonctions décroissantes. Autrement dit, toute fonction monotone sur un intervalle admet une limite àd roite et une limite
àg auche, finies ou infinies, en tout
point.
Démonstration
1) Si f est bornée, elle admet une borne supérieure M sur [a, b[. Soit ε > 0,
M − ε n’estpas un majorant de f ;i lexistedonc x 0 ∈ [a, b[t el que
M − ε < f (x 0 ) M
Comme f est croissante:
∀x∈[x 0 ,b[ M−ε
lim
x→b
f (x) = M
2) Supposons f nonbornée. Soit A un réel quelconque. A n’est pas un majorant
de f , il existe donc x 0 ∈ [a, b[t el que f (x 0 ) > A. Comme f est croissante:
∀x∈[x 0 ,b[ f(x)f(x 0 )>A
ce qui signifie que :
lim
x→b
f (x) = +∞
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