COURS 15
Fonctions d’une variable réelle
Exemple:On pose f (x) =
x
2
− 1
x − 1
.
La fonction f est définie sur D = R\{1} et ∀x ∈ Df( x )=x +1.
La fonction f : x
→ x +1 prolonge f à R et elle estcontinue en 1.
IMPORTANT
L’existence d’une limite àd roite et
d’une limite àg auche en a, mêmes
égales, n’entraîne pasl’existence d’une
limite en a.
Par exemple (Doc. 4) :
lim
x →
<
0
E(−x
2 ) = lim
x →
>
0
E(−x
2 ) = −1
mais la fonction x → E(−x
2 )n ’a pas
de limite en 0, puisqu’elle est définie
et non continue en ce point.
La restriction de cette fonction à R
∗
apour limite 0en0.
x
y
0
–1
–1
1
Doc. 4 Fonction n’admettant pas
de limite en 0.
D’oùl im
x→1
f (x) = f (1) = 2. On écrit:
lim
x→1
x
2
− 1
x − 1
= lim
x→1
(x +1)=2
3.2• Limite àdroite, limite àgauche
On ditque f admet une limite àdroite en a si la restriction de f à] a , + ∞ [ ∩ I
admet une limite en a.
Notations:
lim
x→a+
f (x)o ul im
x →
>
a
f (x)o ul im
a+
f
f admetune limite àgauche en a si la restriction de f à] −∞ , a [∩I admet
unelimite en a.
Notations :
lim
x→a−
f (x)o ul im
x →
<
a
f (x)o ul im
a−
f
Exemple : lim
x→0−
|x|
x
= −1l im
x→0+
|x|
x
= 1
APPLICATION 1
Étude de la continuité d’une fonction
Étudierl ac ontinuité sur R de la fonction fd éfinie
par :
f (x) = E(x)+
x−E(x)
Soit n ∈ Z. Surl ’intervalle [n, n +1[, la fonction
partie entière estconstante, donc f est continue sur
cet intervalle. On en déduit que :
• f est continue en toutpoint de ]n, n +1[.
• f est continue àdroite en n, donc
lim
x→n+
f (x) = f (n) = n.
Il reste àvérifier la continuité àgauche en n. Calculons pour cela la limite àgauche de f au point n :
∀x ∈ [n − 1, n[ f (x) = n − 1+
√ x−n+1,
d’où :
lim
x→n−
f (x) = n − 1+1=n.
f est donc aussi continue àgauche en n ∈ Z.
En définitive, f est continue en toutpoint de R.
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