Fonctions d’une variable réelle
COURS
15
2.3 • Continuité àdroite, àgauche
y
x
2
1
0
–1
–1
123
Doc. 2 La fonction partie entière.
Soit f une fonction définie sur D et a ∈ D. f est dite continue àdroite en
a si la restriction de f à[ a , + ∞ [∩Dest continue en a.
f est dite continue àg auche en a si la restriction de f à] − ∞ , a ] ∩ Dest
continue en a.
Exemple : La fonction partie entièreest continue àd roite, mais non àg auche en
tout point a entier.
Il est clair que f estcontinue en a si et seulement si elle est continue àdroite et
àgauche en a.
IMPORTANT
La fonction partie entière estcontinue
sur [0, 1[, mais elle n’est pasc ontinue en 0( c’est sa restriction à[ 0 , 1[
qui estcontinue en 0) (Doc. 2).
Par exemple, x
→
√
x est continue àd roite et àg auche en 0( àg auche :
] − ∞, 0] ∩ R + = {0} , et toute fonction définie sur {0} est continue en 0).
Rappelons que f est continue sur [a, b]s is ar estrictionà [ a ,b ]e st continue
en tout pointde[ a , b ] ,c’est-à-dire si :
• f est continue àdroite en a ;
• f est continue àgauche en b ;
• f est continue en toutpoint de ]a, b[.
Pour s’entraîner:ex. 3et4
3 Limites
3.1 • Limite d’une fonction en un point
IMPORTANT
La limite de f en a est aussi notée
lim
a
f .
Soit I un intervalle, a un point de I , et f une fonction définie sur I , sauf
peut-être au point a. On dit que f admet une limite en a s’il existe une fonction
f prolongeant f à I et continue en a. On pose alors
lim
x→a
f (x) = f (a).
lf a
=()
0
x
a
y
f
f
Doc. 3 Prolongement parcontinuité
en a.
IMPORTANT
Ce réel l, s’il existe, estunique. Voir
la démonstrationdel’unicité de la limite d’une suite.
La définitiondelalimite de f revient donc àcelle de la continuité de f :
lim
x→a
f (x) = l ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ α > 0 ∀ x ∈ D | x − a | α
⇒| f ( x ) − l | ε
Deux cas se présentent :
• f est définie en a. Le seulprolongement de f à I est f elle-même. Dans
ce cas, f admetune limite en a si et seulement si elle est continue en a, et
alors lim
x→a
f (x) = f (a).
• f n’estpas définie en a. f admet une limite en a s’il existe un réel l tel
que la fonction f définiepar :
⎧
⎨
⎩
si x ∈ I \{a}, f (x) = f (x)
si x = a,
f (a) = l
est continueen a. Dans ce cas, lim
x→a
f (x) = l (Doc. 3).
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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2.3 • Continuité àdroite, àgauche
y
x
2
1
0
–1
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Doc. 2 La fonction partie entière.
Soit f une fonction définie sur D et a ∈ D. f est dite continue àdroite en
a si la restriction de f à[ a , + ∞ [∩Dest continue en a.
f est dite continue àg auche en a si la restriction de f à] − ∞ , a ] ∩ Dest
continue en a.
Exemple : La fonction partie entièreest continue àd roite, mais non àg auche en
tout point a entier.
Il est clair que f estcontinue en a si et seulement si elle est continue àdroite et
àgauche en a.
IMPORTANT
La fonction partie entière estcontinue
sur [0, 1[, mais elle n’est pasc ontinue en 0( c’est sa restriction à[ 0 , 1[
qui estcontinue en 0) (Doc. 2).
Par exemple, x
→
√
x est continue àd roite et àg auche en 0( àg auche :
] − ∞, 0] ∩ R + = {0} , et toute fonction définie sur {0} est continue en 0).
Rappelons que f est continue sur [a, b]s is ar estrictionà [ a ,b ]e st continue
en tout pointde[ a , b ] ,c’est-à-dire si :
• f est continue àdroite en a ;
• f est continue àgauche en b ;
• f est continue en toutpoint de ]a, b[.
Pour s’entraîner:ex. 3et4
3 Limites
3.1 • Limite d’une fonction en un point
IMPORTANT
La limite de f en a est aussi notée
lim
a
f .
Soit I un intervalle, a un point de I , et f une fonction définie sur I , sauf
peut-être au point a. On dit que f admet une limite en a s’il existe une fonction
f prolongeant f à I et continue en a. On pose alors
lim
x→a
f (x) = f (a).
lf a
=()
0
x
a
y
f
f
Doc. 3 Prolongement parcontinuité
en a.
IMPORTANT
Ce réel l, s’il existe, estunique. Voir
la démonstrationdel’unicité de la limite d’une suite.
La définitiondelalimite de f revient donc àcelle de la continuité de f :
lim
x→a
f (x) = l ⇐⇒ ∀ ε > 0 ∃ α > 0 ∀ x ∈ D | x − a | α
⇒| f ( x ) − l | ε
Deux cas se présentent :
• f est définie en a. Le seulprolongement de f à I est f elle-même. Dans
ce cas, f admetune limite en a si et seulement si elle est continue en a, et
alors lim
x→a
f (x) = f (a).
• f n’estpas définie en a. f admet une limite en a s’il existe un réel l tel
que la fonction f définiepar :
⎧
⎨
⎩
si x ∈ I \{a}, f (x) = f (x)
si x = a,
f (a) = l
est continueen a. Dans ce cas, lim
x→a
f (x) = l (Doc. 3).
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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