COURS 15
Fonctions d’une variable réelle
2 Continuité
2.1 • Continuité en un point
f (a) + ε
a – α a + α
f (a) –
f(a)
0
a
ε
y
x
Doc. 1 Fonction continue en a.
Soit f une fonction définie sur D et a ∈ D. On dit que f est continue en a
si f (x)e st aussi voisin que l’on veut de f (a)q uand x est suffisamment voisin
de a (Doc. 1). C’est-à-dire :
∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ D |x − a| α ⇒| f ( x ) − f ( a ) | ε
Exemples :
1) La fonction x →
√ x est continueen a=0:
∀ ε>0
∀ x∈R + | x |ε
2
⇒|
√ x|ε.
2) La fonction x
→
√ x est continue en a = 1:
comme ∀x ∈ R + |
√ x − 1| =
|x − 1|
√ x +1
|x−1|,
alors ∀ε > 0
∀x ∈ R + |x − 1| ε ⇒|
√ x−1|ε.
IMPORTANT
Si D = {a} , f est nécessairement
continueen a. Par exemple, la fonction x →
√ x +
√ −x, qui estd éfinie sur {0}, est continuee n0 .C e
cas, qui semble sans intérêt, estu tile
pour validerc ertains théorèmes (ex:
la somme de deux fonctions continues
en a est continue en a).
De même qu’une suiteconvergente estbornée, on peut énoncer :
Théorème 1
Une fonction continue en a est bornée au voisinage de a.
Démonstration
Soit ε > 0. Il existe α > 0t el que ∀x ∈ D |x−a| α ⇒| f( x ) − f( a ) |ε .
Donc f (x)e st borné par f (a) − ε et f (a)+ε sur [a − α, a + α] ∩ D, donc
au voisinage de a.
2.2 • Cas desfonctions lipschitziennes
Théorème 2
Toute fonction lipschitzienne sur D est continue en toutpoint de D.
Démonstration
Soit f une fonction lipschitzienne de rapport k sur D.
• Si k = 0, f est constante donc continue.
• Si k > 0, soit ε > 0, posons α =
ε
k
;a lors, pour tout a ∈ D :
∀x ∈ D |x − a|
ε
k
⇒| f ( x ) − f ( a ) | ε
donc f est continueen a.
La réciproque est fausse :u ne fonction peut être continue en un point sans être
lipschitzienne au voisinaged ec ep oint. Par exemple, la fonction x
→
√ x est
continue en 0, mais elle n’est lipschitzienne sur aucun intervalle contenant 0,
car
√ x
x
n’est pas bornée sur ]0, β]o ùβ>0 .
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