Fonctions d’une variable réelle
COURS
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Parexemple, la fonction x
→
1
x
+sin x estbornée au voisinage de +∞
( ∀x ∈ [1, +∞[ −1 f (x) 2).
–O ndit que f présente un maximumlocal (resp. minimum local)s’il existeun
intervalle ouvert I de centre a inclus dans D telque : ∀x ∈ If ( x ) f ( a )
(resp. f (x) f (a)).
1.3 • Opérations surles fonctions
On peut définirsur l’ensemble R
D
des fonctions définies sur D :
Une addition
R
D
× R
D
→ R
D
( f , g)
→ f + g
définiepar :
∀x ∈ D ( f + g)(x) = f (x)+g(x)
IMPORTANT
Selon le contexte, la notation f
n
peut concernerlamultiplication ou la
composition.
Dansbeaucoup de problèmes, on notera :
f
2 (x) = f ◦f (x)
mais sin
2 x = (sin x)
2 .
Une multiplication interne
R
D
× R
D
→ R
D
( f , g)
→ fg
définie par :
∀x ∈ D ( fg )(x) = f (x)g(x)
On montre que (R
D
, +, ×)e st un anneau commutatif.
Une multiplication externe par les réels
R × R
D
→ R
D
(α, f )
→ α · f
définiepar :
∀x ∈ D (α · f )(x) = α f (x)
(R
D
, +, ×, · )est un R-espacevectoriel.
Unerelation d’ordre
f g ⇐⇒ ∀ x ∈ Df ( x ) g ( x )
Cet ordre est partiel.
On peut définirles fonctions :
h = sup ( f , g):
∀ x∈Dh ( x ) = max( f (x), g(x))
k = inf ( f , g):
∀ x∈Dk ( x ) = min( f (x), g(x))
f
+
= sup (f , 0)
f
−
= sup (−f , 0)
on remarque que :
f = f
+
− f
−
|f | = f
+
+ f
−
Si f (D f ) ⊂ D g , on peut définiré galement la composée des deux
fonctions f et g par :
∀x ∈ D f g ◦f (x) = g
f (x)
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