COURS 15
Fonctions d’une variable réelle
1 Généralitéssur les fonctions
1.1 • Propriétés globales d’unefonction
On appelle fonction d’une variable réelle àvaleurs réelles une application d’une
partie D de R dans R.L ap artie D esta ppelée ensemble de définition de la
fonction.
La fonction f définiesur D est dite:
croissante, si
∀(x, x
) ∈ D
2
(x x
⇒ f (x) f (x
))
décroissante, si
∀(x, x
) ∈ D
2
(x x
⇒ f (x) f (x
))
strictement croissante, si
∀(x, x
) ∈ D
2
(x < x
⇒ f (x) < f (x
))
strictement décroissante, si ∀(x, x
) ∈ D
2
(x < x
⇒ f (x) > f (x
))
monotone, si elle est croissante ou décroissante
strictement monotone, si elle est strictement croissante ou strictement décroissante
majorée, si
∃M ∈ R ∀x ∈ Df ( x ) M
si f estmajorée, elle admet une borne supérieure (plus petit majorant), notée
sup
D
f
minorée, si
∃m ∈ R ∀x ∈ Df ( x ) m
si f est minorée,elle admet une borne inférieure (plus grand minorant), notée
inf
D
f
bornée, si elle est majorée et minorée
paire, si
∀x ∈ D − x ∈ D et f (−x) = f (x)
impaire, si
∀x ∈ D − x ∈ D et f (−x) = −f (x)
périodique, si ∃T ∈ R
∗
∀x ∈ D
x + T ∈ D
x − T ∈ D
et f (x + T ) = f (x)
lipschitzienne, si ∃k ∈ R + ∀(x, x
) ∈ D
2
| f (x) − f (x
)| k|x − x
|
IMPORTANT
f bornée ⇐⇒ | f | majorée
1.2 • Propriétés localesd’une fonction
Soit f une fonction définie sur unepartie D de R.
–S i D
est une partie de D, on dit que la fonction f possède une certaine
propriété sur D
si la restriction de f à D
possède cettepropriété.
Par exemple, la fonction x
→
1
x
définies ur R
∗
est décroissante sur R
∗
−
(sa restriction à R
∗
− estd écroissante) et sur R
∗
+ (idem).M ais elle n’est pas
décroissante sur R
∗
!
–S i a∈R , on dit que f possède une certaine propriété au voisinaged e a
s’il existe un intervalle ouvert I de centre a telque f possèdecette propriété
sur I ∩ D.
Par exemple, la fonction x
→ sin x est croissante au voisinage de 0( elle est
croissante sur
−
π
2
,
π
2
).
–D emême, on dit que f possèdeune certaine propriété au voisinage de +∞
s’il existe un intervalle non majoré I telq ue f possèdec ette propriété sur
I ∩ D.
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Fonctions d’une variable réelle
1 Généralitéssur les fonctions
1.1 • Propriétés globales d’unefonction
On appelle fonction d’une variable réelle àvaleurs réelles une application d’une
partie D de R dans R.L ap artie D esta ppelée ensemble de définition de la
fonction.
La fonction f définiesur D est dite:
croissante, si
∀(x, x
) ∈ D
2
(x x
⇒ f (x) f (x
))
décroissante, si
∀(x, x
) ∈ D
2
(x x
⇒ f (x) f (x
))
strictement croissante, si
∀(x, x
) ∈ D
2
(x < x
⇒ f (x) < f (x
))
strictement décroissante, si ∀(x, x
) ∈ D
2
(x < x
⇒ f (x) > f (x
))
monotone, si elle est croissante ou décroissante
strictement monotone, si elle est strictement croissante ou strictement décroissante
majorée, si
∃M ∈ R ∀x ∈ Df ( x ) M
si f estmajorée, elle admet une borne supérieure (plus petit majorant), notée
sup
D
f
minorée, si
∃m ∈ R ∀x ∈ Df ( x ) m
si f est minorée,elle admet une borne inférieure (plus grand minorant), notée
inf
D
f
bornée, si elle est majorée et minorée
paire, si
∀x ∈ D − x ∈ D et f (−x) = f (x)
impaire, si
∀x ∈ D − x ∈ D et f (−x) = −f (x)
périodique, si ∃T ∈ R
∗
∀x ∈ D
x + T ∈ D
x − T ∈ D
et f (x + T ) = f (x)
lipschitzienne, si ∃k ∈ R + ∀(x, x
) ∈ D
2
| f (x) − f (x
)| k|x − x
|
IMPORTANT
f bornée ⇐⇒ | f | majorée
1.2 • Propriétés localesd’une fonction
Soit f une fonction définie sur unepartie D de R.
–S i D
est une partie de D, on dit que la fonction f possède une certaine
propriété sur D
si la restriction de f à D
possède cettepropriété.
Par exemple, la fonction x
→
1
x
définies ur R
∗
est décroissante sur R
∗
−
(sa restriction à R
∗
− estd écroissante) et sur R
∗
+ (idem).M ais elle n’est pas
décroissante sur R
∗
!
–S i a∈R , on dit que f possède une certaine propriété au voisinaged e a
s’il existe un intervalle ouvert I de centre a telque f possèdecette propriété
sur I ∩ D.
Par exemple, la fonction x
→ sin x est croissante au voisinage de 0( elle est
croissante sur
−
π
2
,
π
2
).
–D emême, on dit que f possèdeune certaine propriété au voisinage de +∞
s’il existe un intervalle non majoré I telq ue f possèdec ette propriété sur
I ∩ D.
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