EXERCICES
14
Suites réelles et complexes
3) Simplifier l’expression de P n (x)p our x = 1e te n
déduire la limite de la suite (α n ).
Suites adjacentes
11 Montrerque les suites :
S n =
n
k=1
1
k 2 et S
n = S n +
1
n
sont adjacentes. Que peut-on en conclure ?
12 Montrerque les suites :
S n =
n
k=1
1
n + k
et S
n =
2n
k=n
1
k
sont adjacentes.
Montrer, àl’aide d’un graphique, que :
∀n ∈ N S n ln 2 S
n .
Que peut-on en conclure ?
13 On pose S n =
n
k=1
(−1)
k
k
.
Montrerque les suites (S 2n )e t( S 2 n +1 )s ont adjacentes. En
déduire que la suite (S n )c onverge.
Généralisation :soit (u n )u ne suite de réels strictement positifs, décroissante et convergeant vers 0. Démontrer que
la suite S n =
n
k=0
(−1)
k
u k converge.
14 Montrerque les suites :
S n = 1+
n − 1
k= 1
1
k 2 (k+1) 2 et S
n = S n +
1
3n 2
sont adjacentes.
15
∗
Soit 0 < a < b et les suites (u n )e t( v n )d éfinies
par:
u 0 =a, v 0 =b, u n +1 =
u n + v n
2
, v n+1 =
√
u n+1 v n
Montrerq ue les suites (u n )e t( v n )c onvergent vers une
limite commune et exprimer cette limite àl’aide de l’unique
réel α ∈ ]0,
π
2
[t el que cos α =
a
b
.
16
∗
Montrerque les suites (u n )e t( v n )d éfinies par :
u 0 = 1 , v 0 = 2 ,
2
u n+1
=
1
u n
+
1
v n
, v n+1 =
u n + v n
2
sont rationnelles, adjacentes et que leur limite est
√ 2.
Suitescomplexes
17 Soit (x n )e t( y n )d eux suites réelles telles que :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x n+1 =
1
2
(x n − y n )
y n+1 =
1
2
(x n + y n )
Étudierlaconvergence de la suite complexe (z n = x n + iy n ),
puis des suites (x n )e t( y n ) .
18 Étudierl ac onvergence de la suite (z n )d éfinie par
z 0 ∈ C et la relation : ∀n ∈ N z n+1 =
i
2
z n +1.
19
∗
Soit z = x + iy un complexe donné. Démontrerque :
lim
n→∞
1+
z
n
n =e
z
.
Exercices posés aux oraux des concours
20 (Petites Mines 2007)
Soit (u n )e t( v n )d eux suites réelles telles que pour tout
n ∈ N u n v n .Onsuppose que la suite (v n )e st convergente.
1) Peut-onaffirmer que pour tout n ∈ N , u n lim
n→+∞
v n ?
2) Peut-on le dire si on suppose de plus que (u n )e st croissante ?
21 (Petites Mines 2006)
Soit (u n )e t( v n )d eux suites réelles telles que u
2
n +u n v n +v
2
n
tend vers 0quand n tend vers +∞ .Montrer que les deux
suites (u n )e t( v n )c onvergent vers 0.
22 (CCP 2006)
On considèreles suites (u n ) n∈N ∗ et (v n ) n∈N ∗ définies par :
u n =
n
k=1
1+
1
kk!
; v n =u n
1+
1
nn!
Montrer que ces deux suites sont convergentes et ontl a
même limite.
262
14
Suites réelles et complexes
3) Simplifier l’expression de P n (x)p our x = 1e te n
déduire la limite de la suite (α n ).
Suites adjacentes
11 Montrerque les suites :
S n =
n
k=1
1
k 2 et S
n = S n +
1
n
sont adjacentes. Que peut-on en conclure ?
12 Montrerque les suites :
S n =
n
k=1
1
n + k
et S
n =
2n
k=n
1
k
sont adjacentes.
Montrer, àl’aide d’un graphique, que :
∀n ∈ N S n ln 2 S
n .
Que peut-on en conclure ?
13 On pose S n =
n
k=1
(−1)
k
k
.
Montrerque les suites (S 2n )e t( S 2 n +1 )s ont adjacentes. En
déduire que la suite (S n )c onverge.
Généralisation :soit (u n )u ne suite de réels strictement positifs, décroissante et convergeant vers 0. Démontrer que
la suite S n =
n
k=0
(−1)
k
u k converge.
14 Montrerque les suites :
S n = 1+
n − 1
k= 1
1
k 2 (k+1) 2 et S
n = S n +
1
3n 2
sont adjacentes.
15
∗
Soit 0 < a < b et les suites (u n )e t( v n )d éfinies
par:
u 0 =a, v 0 =b, u n +1 =
u n + v n
2
, v n+1 =
√
u n+1 v n
Montrerq ue les suites (u n )e t( v n )c onvergent vers une
limite commune et exprimer cette limite àl’aide de l’unique
réel α ∈ ]0,
π
2
[t el que cos α =
a
b
.
16
∗
Montrerque les suites (u n )e t( v n )d éfinies par :
u 0 = 1 , v 0 = 2 ,
2
u n+1
=
1
u n
+
1
v n
, v n+1 =
u n + v n
2
sont rationnelles, adjacentes et que leur limite est
√ 2.
Suitescomplexes
17 Soit (x n )e t( y n )d eux suites réelles telles que :
⎧
⎪ ⎨
⎪ ⎩
x n+1 =
1
2
(x n − y n )
y n+1 =
1
2
(x n + y n )
Étudierlaconvergence de la suite complexe (z n = x n + iy n ),
puis des suites (x n )e t( y n ) .
18 Étudierl ac onvergence de la suite (z n )d éfinie par
z 0 ∈ C et la relation : ∀n ∈ N z n+1 =
i
2
z n +1.
19
∗
Soit z = x + iy un complexe donné. Démontrerque :
lim
n→∞
1+
z
n
n =e
z
.
Exercices posés aux oraux des concours
20 (Petites Mines 2007)
Soit (u n )e t( v n )d eux suites réelles telles que pour tout
n ∈ N u n v n .Onsuppose que la suite (v n )e st convergente.
1) Peut-onaffirmer que pour tout n ∈ N , u n lim
n→+∞
v n ?
2) Peut-on le dire si on suppose de plus que (u n )e st croissante ?
21 (Petites Mines 2006)
Soit (u n )e t( v n )d eux suites réelles telles que u
2
n +u n v n +v
2
n
tend vers 0quand n tend vers +∞ .Montrer que les deux
suites (u n )e t( v n )c onvergent vers 0.
22 (CCP 2006)
On considèreles suites (u n ) n∈N ∗ et (v n ) n∈N ∗ définies par :
u n =
n
k=1
1+
1
kk!
; v n =u n
1+
1
nn!
Montrer que ces deux suites sont convergentes et ontl a
même limite.
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