Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Une suite positive qui converge vers0estdécroissante à
partir d’un certainrang.
b) Si la suite (|x n |)c onvergevers l, la suite (x n )c onverge
vers l ou vers −l.
c) Si la suite( x n )c onvergevers l, la suite (x n 2 )c onverge
vers l.
d) Si lim
n→∞
(x n − y n ) = 0, les suites (x n )e t( y n )c onvergent
vers la même limite.
e) Le produit d’une suite qui converge vers 0etd’une suite
quelconque converge vers 0.
f) Toute suite encadrée par deux suites convergentes est
convergente.
g) La différence de deux suites équivalentes converge vers
0.
h) Le quotient de deux suites non nulles équivalentes
converge vers 1.
i) Si lim
n→∞
x n = 1, alorsl im
n→∞
(x n )
n
= 1.
j) Si la suite complexe (z n )c onvergevers l, la suite (z n )
converge vers l.
Convergence
2 Soit (x n )u ne suite réelle. On suppose que les suites
(x 2n ),( x 2 n +1 )e t( x 3 n )c onvergent. Démontrer que la suite
(x n )c onverge.
3 Montrer que, si une suite (x n )e st convergente, la
suite( x 2 n − x n )c onverge vers 0. En déduire que la suite
(S n )d éfinie par S n =
n
k=1
1
k
estdivergente.
4 Montrerque, pour tout n ∈ N :
(3 +
√ 5)
n
+(3−
√ 5)
n
est un entier pair.
En déduire que la suite (sin
(3 +
√ 5)
n π
)c onverge.
Limites –Équivalents
5 Déterminer les limites éventuelles des suites :
a)
u n =
√
n 2 + n +1−
n 2 −n+1
b)
u n =
n +
√ n 2 +1−
n+
n 2 −1
c)
u n =
n −
√ n 2 +1
n−
√ n 2 −1
d) u n =
E
(n +
1
2 )
2
E
(n −
1
2 ) 2
e) u n =
1
n 2
n
k=1
E(kx)( x ∈ R )
f) u n = (n)
1
ln n
g) u n = (ln n)
1
n
h) u n = (n)
sin n
n
i) u n =
sin
1
n
1
ln n
6 Trouverune suite simple équivalente àlasuite :
a) x n =
√ n +1−
√ n−1 b) x n =
1
n − 1
−
1
n +1
c) x n = n sin
1
n 2
d) x n = n
1
n − 1
e) x n = ln(n +1)−ln(n)
f) x n = tan
π
3
+
1
n
g) x n =
tan
π
3
+
1
n
n
h) x n =
tan
π
3
+
1
n
π
7 Utiliser des équivalents pour calculer les limites :
a) lim
n→∞
1+
x
n
n
b) lim
n→∞
n − 1
n +1
n
c) lim
n→∞
n
n − x
n
d) lim
n→∞
n
2
+5n+4
n 2 −3n+7
n
8 Étudier la convergence de la suite :
x n =
1
n!
n
p=1
p!
Indication : Montrer que
∀m 1
m
p=1
p! (m +1)! .
9 On considère la suite( x n )d éfinie par :
∀n ∈ N
∗
x n =
1+
2+···+
√
n
Montrer que
x
2
n 1+x n
√ 2. En déduire que (x n )
converge.
10
∗
Pour tout entier n strictement positif, on considère
le polynôme :
P n (x) = x
n
+ x
n−1
+ ···+x−1.
1) Montrer que le polynôme P n admet une unique racine
positive α n .
2) Montrer que ∀n ∈ N
∗
P n (α n+1 ) < 0. En déduire
le sens de variationd el as uite (α n )e td émontrer qu’elle
converge.
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