Suites réelles et complexes
Exercice résolu
LIMITE D’UNE RACINE n-IÈME
1 Soit (x n ) une suite de réels strictement positifs telle que la suite
x n+1
x n
converge vers l. Montrer quelasuite (
n
√ x n )
converge également vers l. La réciproque est-elle vraie ?
2 Application :Déterminer les limites éventuelles dessuites :
a) u n =
n
√ n ;
b) u n =
n
2n
n
;
c) u n =
n
√ n!
n
Conseils
Solution
Utiliser la définition de la convergence de
la suite
x n+1
x n
.
1) Soit ε > 0. Il existe un entier n 0 tel que :
∀p n 0 l − ε
x p+1
x p
l + ε
Alors, pourtout n n 0 +1:
(l−ε)
n − n 0
x n 0 +1
x n0
x n0+2
x n0+1
···
x n
x n−1
(l +ε)
n−n0
c’est-à-dire :
(l − ε)
n−n0
x n
x n0
(l + ε)
n−n0
ou encore :
(l − ε)
1−
n 0
n
(x n )
1
n
(x n0 )
1
n
(l + ε)
1−
n 0
n .
Attention : ε est non nul, les deux suites
encadrantes n’ont pas la même limite.
ε restantfixé, (l − ε)
1−
n 0
n
tend vers l − ε quand n tend vers +∞.
Il existe donc un entier n 1 tel que :
∀n n 1 (l − ε)
1−
n 0
n l − 2ε.
De même, il existe un entier n 2 tel que :
∀n n 2 (l + ε)
1−
n 0
n l +2ε.
Pour tout n max(n 0 , n 1 , n 2 ), on adonc :
l − 2ε
(x n )
1
n
(x n0 )
1
n
l +2ε,
Reconnaître la définition de la convergence.
ce quip rouve que
(x n )
1
n
(x n0 )
1
n
converge vers l. Comme (x n0 )
1
n = e
1
n ln xn 0
converge vers 1, on en conclut que (x n )
1
n converge vers l.
La réciproque est fausse :ilsuffit de considérer la suite (x n ) =
e
(−1)
n
.
n
√ x n
=
e
(−1) n
n
converge vers 1, mais la suite
x n+1
n n
, qui prend
la valeur e
−2
quand n est pair et e
2
quand n est impair, n’est pas
convergente.
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
259