Suites réelles et complexes
APPLICATION 9
Étude d’une suite géométrique complexe
Soit q ∈ C
∗
. Étudions la convergence de la suite géométrique (z n ) définiepar z n = q
n
.
• Si |q| < 1, alors ∀n ∈ N |z n | = |q|
n
, quitend
vers0;donc (z n )c onvergevers0.
• Si |q| > 1, alors ∀n ∈ N |z n | = |q|
n
, qui tend
vers +∞ ;d onc (z n )d iverge.
• Supposons que |q| = 1. Si la suite (z n )c onverge
vers l ∈ C, comme z n+1 = qz n , la limite l doit
vérifier l = ql, c’est-à-dire l(1 − q) = 0.
Para illeurs, ∀n ∈ N |z n | = 1, d’où en passant
àl al imite |l| = 1. Donc l estn on nulle, et par
conséquent 1 − q = 0, c’est-à-dire q = 1.
Réciproquement,ilest clair que la suite (z n )c onverge
pour q = 1. Elle divergepour tout q de module 1
autre que 1.
En définitive, une suite géométrique complexe de raison q converge si et seulement si |q| < 1o uq=1 .
Pour s’entraîner :ex. 17 et 18
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’unesuite (u n ) estmonotone,onpeut:
• étudier le signe de (u n+1 − u n ) (cf. exercices 14 à 16 ) ;
• si
∀n ∈ N u n > 0 , comparer
u n+1
u n
avec 1;
• démontrer par récurrence que : ∀n ∈ N u n u n+1 ou ∀n ∈ N u n u n+1
(cf. exercices 15 à 16 ).
Pourmontrer qu’une suite converge,onpeut:
• chercher si elle est monotone bornée (cf. exercices 9 et 10 );
• chercher une autre suite qui lui serait adjacente (cf. Application 8 et exercices 11 et 14 );
• montrer qu’elle est extraite d’une suite convergente (cf. exercice 2);
• montrer que les deux suites extraites (x 2n )e t( x 2 n +1 )c onvergent vers la même limite (cf. Application 3 et
exercices 2 et 13 );
• l’encadrer entre deux suites convergentes de même limite (cf. Application 5 et exercice 8).
Pour trouver la limite d’une suite quand on saitqu’elle converge,onpeut:
• appliquer les opérations sur les limites (cf. Application 4 et exercice 5);
• utiliser des équivalents (cf. Application 7 et exercice 7).
Pour montrer qu’une suite diverge,onpeut:
• en extraire deux suites qui convergent vers des limites différentes (cf. Application 2);
• plus généralement, en extraire deux suites dont la différence ne tend pas vers 0(cf. exercice 3);
• la minorer par une suite tendant vers +∞ ou la majorer par une suite tendant vers −∞ (cf. Application 6);
• montrer qu’elle n’est pas bornée.
...................................................................................................................................................................................................
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APPLICATION 9
Étude d’une suite géométrique complexe
Soit q ∈ C
∗
. Étudions la convergence de la suite géométrique (z n ) définiepar z n = q
n
.
• Si |q| < 1, alors ∀n ∈ N |z n | = |q|
n
, quitend
vers0;donc (z n )c onvergevers0.
• Si |q| > 1, alors ∀n ∈ N |z n | = |q|
n
, qui tend
vers +∞ ;d onc (z n )d iverge.
• Supposons que |q| = 1. Si la suite (z n )c onverge
vers l ∈ C, comme z n+1 = qz n , la limite l doit
vérifier l = ql, c’est-à-dire l(1 − q) = 0.
Para illeurs, ∀n ∈ N |z n | = 1, d’où en passant
àl al imite |l| = 1. Donc l estn on nulle, et par
conséquent 1 − q = 0, c’est-à-dire q = 1.
Réciproquement,ilest clair que la suite (z n )c onverge
pour q = 1. Elle divergepour tout q de module 1
autre que 1.
En définitive, une suite géométrique complexe de raison q converge si et seulement si |q| < 1o uq=1 .
Pour s’entraîner :ex. 17 et 18
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour montrerqu’unesuite (u n ) estmonotone,onpeut:
• étudier le signe de (u n+1 − u n ) (cf. exercices 14 à 16 ) ;
• si
∀n ∈ N u n > 0 , comparer
u n+1
u n
avec 1;
• démontrer par récurrence que : ∀n ∈ N u n u n+1 ou ∀n ∈ N u n u n+1
(cf. exercices 15 à 16 ).
Pourmontrer qu’une suite converge,onpeut:
• chercher si elle est monotone bornée (cf. exercices 9 et 10 );
• chercher une autre suite qui lui serait adjacente (cf. Application 8 et exercices 11 et 14 );
• montrer qu’elle est extraite d’une suite convergente (cf. exercice 2);
• montrer que les deux suites extraites (x 2n )e t( x 2 n +1 )c onvergent vers la même limite (cf. Application 3 et
exercices 2 et 13 );
• l’encadrer entre deux suites convergentes de même limite (cf. Application 5 et exercice 8).
Pour trouver la limite d’une suite quand on saitqu’elle converge,onpeut:
• appliquer les opérations sur les limites (cf. Application 4 et exercice 5);
• utiliser des équivalents (cf. Application 7 et exercice 7).
Pour montrer qu’une suite diverge,onpeut:
• en extraire deux suites qui convergent vers des limites différentes (cf. Application 2);
• plus généralement, en extraire deux suites dont la différence ne tend pas vers 0(cf. exercice 3);
• la minorer par une suite tendant vers +∞ ou la majorer par une suite tendant vers −∞ (cf. Application 6);
• montrer qu’elle n’est pas bornée.
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