Suites réelles et complexes
COURS
14
8 Suites àvaleurs complexes
8.1 • Convergence d’une suite complexe
On peut étendre auxs uites complexes toutes les propriétés des suites réelles qui
ne fontp as référence àl ar elation d’ordre de R (il ne sera plus question de suite
croissante, décroissante, majorée, minorée...).L es propriétés faisant intervenir la
valeur absolue seront étendues en la remplaçant parlemodule.
l
z 0
z 1
zn 0
Doc. 4 Convergenced’une suite
complexe.
Par exemple, une suite complexe (z n )e st dite bornée si :
∃M ∈ R ∀n ∈ N |z n | M
La suite( z n )converge vers le nombre complexe l si :
∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n n 0 |z n − l| ε
(dans le plan complexe, le disque de centre l de rayon ε contient tous les termes
de la suite àpartir d’un certain rang (Doc. 4)).
Les résultats suivants restent valables :
–Toute suite convergente est bornée.
–Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la même limite.
–Lasomme de deux suites convergentes converge vers la somme des deux limites.
–Leproduit de deux suites convergentes converge vers le produit des deux limites.
–L eq uotient de deux suites convergentes, la limite du dénominateur étant non
nulle, converge vers le quotient des deux limites.
On peut étendre aux suites complexes les notions de suite dominée par une autre,
suite négligeable devant une autre, suites équivalentes.
8.2 • Partie réelle et partie imaginaire
d’une suite complexe
Montrons quelaconvergence d’une suite complexe revient àlaconvergence de sa
partie réelle et de sa partie imaginaire :
Théorème 16
La suite complexe (z n )c onvergevers l ∈ C si et seulement si les suites réelles
Re (z n )e tI m(z n )c onvergent respectivement vers Re (l)e tI m(l).
Démonstration
Pour tout n ∈ N, posons z n = x n + iy n avec (x n , y n ) ∈ R
2
.
1) Si les suites (x n )e t( y n )c onvergent respectivement vers les réels a et b, la
somme( x n +iy n )c onvergevers a + ib.
2) Si la suite (z n )c onvergevers l = a + ib,
∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n n 0 |(x n − a)+i(y n −b)|ε
Or |x n − a| |(x n − a)+i(y n −b)| ,d onc (x n )c onvergevers a ;
et |y n − b| |(x n − a)+i(y n −b)| ,d onc (y n )c onvergevers b.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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8.1 • Convergence d’une suite complexe
On peut étendre auxs uites complexes toutes les propriétés des suites réelles qui
ne fontp as référence àl ar elation d’ordre de R (il ne sera plus question de suite
croissante, décroissante, majorée, minorée...).L es propriétés faisant intervenir la
valeur absolue seront étendues en la remplaçant parlemodule.
l
z 0
z 1
zn 0
Doc. 4 Convergenced’une suite
complexe.
Par exemple, une suite complexe (z n )e st dite bornée si :
∃M ∈ R ∀n ∈ N |z n | M
La suite( z n )converge vers le nombre complexe l si :
∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n n 0 |z n − l| ε
(dans le plan complexe, le disque de centre l de rayon ε contient tous les termes
de la suite àpartir d’un certain rang (Doc. 4)).
Les résultats suivants restent valables :
–Toute suite convergente est bornée.
–Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la même limite.
–Lasomme de deux suites convergentes converge vers la somme des deux limites.
–Leproduit de deux suites convergentes converge vers le produit des deux limites.
–L eq uotient de deux suites convergentes, la limite du dénominateur étant non
nulle, converge vers le quotient des deux limites.
On peut étendre aux suites complexes les notions de suite dominée par une autre,
suite négligeable devant une autre, suites équivalentes.
8.2 • Partie réelle et partie imaginaire
d’une suite complexe
Montrons quelaconvergence d’une suite complexe revient àlaconvergence de sa
partie réelle et de sa partie imaginaire :
Théorème 16
La suite complexe (z n )c onvergevers l ∈ C si et seulement si les suites réelles
Re (z n )e tI m(z n )c onvergent respectivement vers Re (l)e tI m(l).
Démonstration
Pour tout n ∈ N, posons z n = x n + iy n avec (x n , y n ) ∈ R
2
.
1) Si les suites (x n )e t( y n )c onvergent respectivement vers les réels a et b, la
somme( x n +iy n )c onvergevers a + ib.
2) Si la suite (z n )c onvergevers l = a + ib,
∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N ∀n n 0 |(x n − a)+i(y n −b)|ε
Or |x n − a| |(x n − a)+i(y n −b)| ,d onc (x n )c onvergevers a ;
et |y n − b| |(x n − a)+i(y n −b)| ,d onc (y n )c onvergevers b.
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