COURS 14
Suites réelles et complexes
IMPORTANT
La limite communed es deux suites,
notée l, vérifie l’encadrement :
∀n ∈ N xn l yn
(x n )e st donc croissante et majorée par y 0 :e lle converge.
(y n )e st décroissante et minorée par x 0 :e lle converge.
De lim
n→∞
(y n − x n ) = 0, on déduit lim
n→∞
x n = lim
n→∞
y n .
APPLICATION 8
Irrationnalité de e
Montrer quel es suites (S n ) et (S
n ) définies pour
n ∈ N
∗
par :
S n =
n
k=0
1
k!
et S
n = S n +
1
nn!
sont adjacentes. Encadrer leur limite commune à 10
−6
prèse td émontrer qu’elle est irrationnelle (nous verrons
plus tard qu’il s’agit du nombre e).
S n+1 − S n =
1
(n +1)!
> 0, donc (S n )e st strictement
croissante.
S
n+1 − S
n =
1
(n +1)!
+
1
(n +1)(n +1)!
−
1
nn!
=
−1
n(n+1)(n +1)!
< 0 ,
donc (S
n )e st strictement décroissante.
S
n − S n =
1
nn!
, donc lim
n→∞
(S
n − S n ) = 0.
Les suites (S n )e t( S
n )s ont adjacentes, donc elles
convergent vers une même limite l.
Pour encadrer l à1 0
− 6
près, choisissons n telque
1
nn!
< 10
−6
, soit n = 9. Less uites (S n )e t( S
n )
étant strictement monotones, S 9 < l < S
9
2,7182815 < l < 2,7182819
Supposons que l ∈ Q, c’est-à-dire que l =
p
q
,
avec (p, q) ∈ N
2
.
On aurait S q <
p
q
< S
q , c’est-à-dire :
q
k=0
1
k!
<
p
q
<
q
k=0
1
k!
+
1
qq!
Multiplions par qq!: N
deux entiersconsécutifs, ce qui est impossible.
Donc l est irrationnel.
Pour s’entraîner :ex. 11 à16
7.3• Segments emboîtés
Théorème 15 (Théorèmedes segments emboîtés)
Soit I n = [a n , b n ]u ne suite de segments emboîtés (c’est-à-dire I n+1 ⊂ I n ) dont
l’amplitude (b n − a n )c onvergevers0 .
L’intersection
n∈N
I n est un singleton.
Démonstration
Il suffit de remarquer que les suites (a n )e t( b n )s ont adjacentes. Elles convergent
donc vers un même réel l. ∀n ∈ N a n l b n , donc l ∈
n∈N
I n .
Si l
est un élément quelconque de cette intersection, on a ∀n ∈ N b n − a n
|l − l
|, d’où l = l
.
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Suites réelles et complexes
IMPORTANT
La limite communed es deux suites,
notée l, vérifie l’encadrement :
∀n ∈ N xn l yn
(x n )e st donc croissante et majorée par y 0 :e lle converge.
(y n )e st décroissante et minorée par x 0 :e lle converge.
De lim
n→∞
(y n − x n ) = 0, on déduit lim
n→∞
x n = lim
n→∞
y n .
APPLICATION 8
Irrationnalité de e
Montrer quel es suites (S n ) et (S
n ) définies pour
n ∈ N
∗
par :
S n =
n
k=0
1
k!
et S
n = S n +
1
nn!
sont adjacentes. Encadrer leur limite commune à 10
−6
prèse td émontrer qu’elle est irrationnelle (nous verrons
plus tard qu’il s’agit du nombre e).
S n+1 − S n =
1
(n +1)!
> 0, donc (S n )e st strictement
croissante.
S
n+1 − S
n =
1
(n +1)!
+
1
(n +1)(n +1)!
−
1
nn!
=
−1
n(n+1)(n +1)!
< 0 ,
donc (S
n )e st strictement décroissante.
S
n − S n =
1
nn!
, donc lim
n→∞
(S
n − S n ) = 0.
Les suites (S n )e t( S
n )s ont adjacentes, donc elles
convergent vers une même limite l.
Pour encadrer l à1 0
− 6
près, choisissons n telque
1
nn!
< 10
−6
, soit n = 9. Less uites (S n )e t( S
n )
étant strictement monotones, S 9 < l < S
9
2,7182815 < l < 2,7182819
Supposons que l ∈ Q, c’est-à-dire que l =
p
q
,
avec (p, q) ∈ N
2
.
On aurait S q <
p
q
< S
q , c’est-à-dire :
q
k=0
1
k!
<
p
q
<
q
k=0
1
k!
+
1
qq!
Multiplions par qq!: N
deux entiersconsécutifs, ce qui est impossible.
Donc l est irrationnel.
Pour s’entraîner :ex. 11 à16
7.3• Segments emboîtés
Théorème 15 (Théorèmedes segments emboîtés)
Soit I n = [a n , b n ]u ne suite de segments emboîtés (c’est-à-dire I n+1 ⊂ I n ) dont
l’amplitude (b n − a n )c onvergevers0 .
L’intersection
n∈N
I n est un singleton.
Démonstration
Il suffit de remarquer que les suites (a n )e t( b n )s ont adjacentes. Elles convergent
donc vers un même réel l. ∀n ∈ N a n l b n , donc l ∈
n∈N
I n .
Si l
est un élément quelconque de cette intersection, on a ∀n ∈ N b n − a n
|l − l
|, d’où l = l
.
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